Obiettivi formativi

RICHIAMI DI TOPOLOGIA GENERALE;
SUPERFICI IMMERSE NELLO SPAZIO EUCLIDEO 3-DIMENSIONALE;
CALCOLO TENSORIALE;
VARIETA' DIFFERENZIABILI;
VARIETA' RIEMANNIANE;
CONNESSIONI E TENSORE DI CURVATURA.

Programma

-RICHIAMI DI TOPOLOGIA GENERALE
-SUPERFICI IMMERSE NELLO SPAZIO EUCLIDEO 3-DIMENSIONALE:
-atlante differenziabile, atlante orientato, piano tangente, versore normale.
-Prima forma quadratica fondamentale: metrica e area.
-Curvatura tangenziale e curvatura normale di una curva su una superficie
-Curvature, sezioni normali, Teorema di Meusnier.
-Curvature principali, curvatura Gaussiana e curvatura media: Superfici minime e Teorema Egregium
-Geodetiche

CALCOLO TENSORIALE
-Spazio vettoriale libero
-Prodotto tensoriale di due spazi vettoriali
-Prodotto tensoriale di n spazi vettoriali
-Algebre tensoriali
-Caso della dimensione finita
-Formule di trasformazione componenti di un tensore
-Prodotto tensoriale tra tensori misti
-Tensori Simmetrici
-Tensori Alternanti (Algebra esterna)
-Determinanti
-Aree e Volumi

VARIETA' DIFFERENZIABILI
-Definizione
-Esempi
-Classificazione delle 1-varietà
-Classificazione delle superfici semplicemente connesse
-Prodotti e spazi quozienti
-Mappe differenziabili
-Spazio tangente e fibrato tangente ad una varietà
-Campi di vettori su una varietà differenziabile
-Differenziale di una mappa
-Campi di tensori differenziabili
-Algebra esterna su una varietà differenziabile
-Varietà Riemanniane
-Tensore metrico
-Orientazione
-Elemento di Volume
-Derivata Esterna
-Coomologia di De Rham
-Omotopia
-Teoremi di punto fisso

CONNESSIONI AFFINI E TENSORI DI CURVATURA
-Connessioni
-Trasporto parallelo di Levi-Civita
-Geodetiche rispetto ad una connessione affine
-Connessione Riemanniana
-Curvatura di una connessione affine
-Tensore di curvatura
-Identità di Bianchi

Modalità d'esame

Prova scritta (2 ore)
Lo studente dovrà scegliere una tra due domande ampie (che prevedono una risposta di 2/3 pagine) e due tra tre domande brevi (risposta di al più 10 righe).