Codice insegnamento

4S00247

Docente

Giuseppe Mazzuoccolo

Coordinatore

Giuseppe Mazzuoccolo

Crediti

6

Lingua di erogazione

Italiano

Settore Scientifico Disciplinare (SSD)

MAT/03 - GEOMETRIA

Periodo

I semestre dal 1 ott 2019 al 31 gen 2020.

Orario Lezioni Moodle Seminari 0

Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di fornire allo studente i concetti fondamentali della topologia generale e le basi della geometria differenziale delle curve e delle superfici immerse in uno spazio euclideo.

Al termine dell'insegnamento lo studente conoscerà le principali proprietà degli spazi topologici. Inoltre sarà in grado di riconoscere e calcolare le caratteristiche geometriche principali di curve e superfici immerse (triedo di riferimento, curvature, forme quadratiche fondamentali...). Sarà inoltre in grado di produrre argomentazioni e dimostrazioni rigorose su questi temi e sarà in grado di leggere articoli e testi di Topologia e Geometria Differenziale.

Programma

L'insegnamento prevede lezioni frontali di teoria ed esercitazioni. Saranno inoltre previste 12 ore di tutorato che si concentrerà in particolare sulla risoluzione di esercizi di topologia.

A seguire un programma dettagliato del corso:

-Topologia generale.

Spazio topologico, definizione per aperti e per chiusi. Esempi: topologia banale, discreta, cofinita. Finezza di una topologia. Basi di aperti. Intorni. Sistema fondamentale di intorni. Chiusura, interno. Applicazioni continue. Omeomorfismi. Punti di frontiera, isolati, aderenza e accumulazione. Insiemi densi. Sottospazi, topologia indotta. Prodotto di spazi e topologia prodotto.
Assiomi di separazione. Spazi di Hausdorff, Regolari e Normali.
Assiomi di numerabilità: primo assioma e secondo assioma.
Quozienti e topologia quoziente. Applicazioni aperte e chiuse.
Esempi di spazi topologici: sfere, spazio proiettivo, nastro di Moebius....
Proprietà di compattezza. Teorema di Heine-Borel. Teorema di Tychonoff. Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Connessione. Locale connessione. Connessione per archi. Esempi e controesempi: curva del topologo. Connesso e localmente connesso per archi implica connesso per archi. Semplice connessione, omotopia e gruppo fondamentale (cenni).

-Geometria differenziale delle curve nel piano e nello spazio.

Curve differenziabili nel piano:
Esempi notevoli. Punti regolari e singolari. Immersioni locali, immersioni e immersioni regolari. Lunghezza di un arco. Ascissa curvilinea. Punti di flesso. Curvatura e raggio di curvatura. Centro di curvatura. Formule di Frenet-Serret.

Curve differenziabili nello spazio:
Retta tangente. Piano normale. Flessi. Piano osculatore. Punti stazionari. Curvature. Triedo principale. Formule di Frenet-Serret. Torsione. Teorema Fondamentale della teoria locale delle curve.

-Geometria differenziale delle superfici nello spazio.

Definizione. Atlante differenziabile, atlante orientato, piano tangente, versore normale.
Prima forma quadratica fondamentale: metrica e area. Curvatura tangenziale e curvatura normale di una curva su una superficie. Curvature, sezioni normali, Teorema di Meusnier. Curvature principali, curvatura Gaussiana e curvatura media: Teorema Egregium. Geodetiche.

Modalità d'esame

Per superare l'esame gli studenti devono dimostrare di:
- conoscere e aver compreso i concetti fondamentali della topologia generale
- conoscere e aver compreso i concetti fondamentali della teoria locale delle curve e delle superfici
- avere un'adeguata capacità di analisi e sintesi e di astrazione
- sapere applicare queste conoscenze per risolvere problemi ed esercizi, sapendo argomentare i loro ragionamenti con rigore matematico.

Prova scritta (2 ore).
L'esame consiste nella risoluzione di 4 esercizi (2 di topologia, 1 di teoria delle curve e 1 di teoria delle superfici) più due domande di teoria (1 su definizioni/concetti generali e 1 con dimostrazione di un teorema presentato a lezione).

Prova orale (facoltativa)
Prevede una discussione con il docente sulle definizioni e dimostrazioni discusse durante le lezioni.