Obiettivi di apprendimento

Il corso si propone di descrivere ed analizzare i principali metodi numerici per la valutazione dei derivati e per la gestione del rischio. In particolare, verranno esaminati: - metodi ad albero - metodi alle differenze finite (implicito, esplicito, Crank-Nicholson) - metodi Monte Carlo Alla fine del corso, lo studente dovrà essere in grado di implementare efficientemente in Java e/o Python tutti i metodi presentati. Sebbene non sia prevista alcuna propedeuticità formale, gli argomenti trattati nei corsi di Modelli Stocastici per la Finanza e di Finanza Matematica risultano essere un prerequisito essenziale.

Prerequisiti e nozioni di base

Conoscenza del linguaggio di programmazione Java e dei concetti più importanti di Matematica Finanziaria in tempo continuo.

Programma

Il corso è dedicato alle principali tecniche numeriche utilizzate per la valutazione di derivati finanziari. L'obiettivo sarà duplice: da un lato comprendere i fondamenti teorici dei metodi presentati, dall'altro acquisire la capacità di implementarli e utilizzarli concretamente in applicazioni finanziarie. Tutte le metodologie saranno sviluppate combinando teoria e pratica, con particolare attenzione all'implementazione in Java attraverso la libreria finmath-lib.

In particolare, verranno studiate e implementate due delle principali famiglie di tecniche numeriche utilizzate in finanza quantitativa per la valutazione di opzioni e altri derivati:

1. Metodi Monte Carlo per la simulazione di processi stocastici e la valutazione di derivati finanziari. Introdurremo i metodi di Euler–Maruyama e Milstein per la discretizzazione di equazioni differenziali stocastiche (SDE) e la loro implementazione per l'approssimazione del valore atteso di payoff dipendenti dalla dinamica del sottostante. Analizzeremo vantaggi e limiti dei metodi Monte Carlo nella valutazione di opzioni europee, a barriera e americane. Verranno inoltre presentate alcune delle principali tecniche di riduzione della varianza, tra cui variabili antitetiche, control variates e importance sampling, discutendone l'impatto sull'efficienza computazionale.

2. Metodi alle differenze finite per la soluzione numerica di PDE e la valutazione di derivati finanziari. Mostreremo come la formula di Feynman–Kac permetta di collegare la valutazione di un derivato alla soluzione di un'equazione alle derivate parziali i cui coefficienti dipendono dalla dinamica del sottostante. Verranno quindi introdotti i principali schemi numerici alle differenze finite, tra cui i metodi esplicito, implicito e Crank–Nicolson, con relativa implementazione computazionale. I risultati ottenuti saranno confrontati con quelli derivanti dagli approcci Monte Carlo, evidenziando punti di forza e limiti delle diverse metodologie.

Modalità didattiche

Lezioni frontali. Le registrazioni saranno messe a disposizione degli studenti dopo la lezione.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame scritto e consegna di un progetto in Java su uno o più argomenti del corso.

Criteri di valutazione

Per quanto riguarda l'esame scritto, si richiede allo studente di dimostrare una conoscenza critica ed approfondita degli argomenti affrontati nel corso, sia per quanto riguarda gli aspetti più teorici sia per quelli implementativi. Le risposte devono essere precise e attinenti alla domande.

Il progetto Java deve poter essere eseguito senza errori e fornire i risultati attesi. Deve inoltre seguire le best practice di cui discuteremo nel corso, e in particolare essere ben documentato.

Criteri di composizione del voto finale

L'esame scritto costituisce il 75% del punteggio finale, il progetto in Java il restante 25%.

Lingua dell'esame

Inglese o italiano, a scelta dello studente