Codice insegnamento

4S02690

Crediti

12

Coordinatore

Lingua di erogazione

Italiano

Settore Scientifico Disciplinare (SSD)

MAT/05 - ANALISI MATEMATICA

Moodle Seminari 0

L'insegnamento è organizzato come segue:

Obiettivi formativi

Matematica: il corso intende fornire gli strumenti matematici (strutture insiemistiche ed algebriche di base, calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie) indispensabili agli studenti durante il corso di laurea, con particolare attenzione all'applicazione pratica delle nozioni apprese. Al termine dell'insegnamento gli studenti dovranno dimostrare di saper utilizzare in maniera appropriata il linguaggio matematico e le nozioni introdotte nel corso ed essere in grado di argomentare correttamente le soluzioni proposte ai problemi affrontati. Statistica: il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze statistiche di base per la pianificazione di esperimenti, la raccolta e l'analisi dei dati, l'interpretazione e la presentazione scientificamente corretta dei risultati, e dunque gli elementi culturali che permettono di analizzare e comprendere il funzionamento dei sistemi biologici e al contempo di acquisire una reale operatività professionale in biotecnologie e in settori applicativi diversi. Gli studenti sono incoraggiati ad utilizzare le nozioni teoriche per risolvere i problemi che vengono comunemente affrontati nella pratica di un generico laboratorio biotecnologico. Al termine del corso gli studenti sono in grado di utilizzare i principali test statistici per l'analisi dei dati sperimentali e hanno le conoscenze necessarie per: - pianificare correttamente gli esperimenti - analizzare e presentare i risultati sperimentali - approfondire autonomamente specifiche tematiche nel campo della statistica applicata

Programma

------------------------
MM: matematica
------------------------
1. PRELIMINARI. a) Insiemi e operazioni sugli insiemi. b) Numeri naturali N, interi Z e razionali Q c) Numeri reali. Operazioni ed ordinamento in R. Insiemi di numeri reali limitati o illimitati. Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi di numeri reali. Intervalli. Distanza. d) Equazioni e disequazioni intere, fratte, irrazionali, con moduli e sistemi e) Geometria analitica nel piano cartesiano: distanze fra punti, retta, circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Posizioni reciproche e problem geometrici 2. FUNZIONI ELEMENTARI. a)Funzioni reali di variabile reale, grafico, dominio, immagine. Composizione di funzioni. Funzione inversa. Funzioni monotone. Funzioni limitate e funzioni illimitate. Massimi e minimi. Estremi superiori e inferiori di funzioni. Segno e zeri di una funzione. Operazioni sui diagrammi: traslazioni, simmetrie. b) Modulo. Potenze ad esponente naturale, intero, razionale e reale. Le funzioni polinomiali x^a, irrazionali, esponenziali a^x, logaritmiche. Le funzioni trigonometriche. c) Disequazioni algebriche, esponenziali e logaritmiche, sistemi di disequazioni. 3. LIMITI E FUNZIONI CONTINUE. a) Distanza ed intorni, intorni destri ed intorni sinistri. Limiti di funzioni. Continuità in un punto. Limiti elementari. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni composte. Teorema del confronto. Alcune forme indeterminate. Confronto tra infiniti e infinitesimi. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. b) Funzioni continue e loro proprietà fondamentali. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass. . 4. DERIVATE ED APPLICAZIONI. a) Definizione di derivata in un punto. Derivata destra e derivata sinistra. Retta tangente al grafico. Funzione derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione di somma, prodotto, quoziente, funzione composta, funzione inversa. Derivabilità e continuità. Punti di massimo e minimo relativi. Teoremi di Fermat, di Rolle e di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni derivabili con derivata nulla, funzioni derivabili con uguale derivata, segno della derivata prima ed intervalli di monotonia della funzione. Ricerca di punti di massimo o minimo relativo attraverso il segno della derivata. Derivata seconda, suo segno e convessità. b) Studio qualitativo del grafico di una funzione. c) Derivate successive. Approssimazione locale di funzioni con polinomi. Teoremi di De l’Hospital. Polinomio di Taylor e Teorema di Taylor. Uso del teorema per la determinazione dei limiti. 5. INTEGRALI. a) Funzioni primitive (integrali indefiniti). Integrali elementari. Definizione di integrale definito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. b) Calcolo di aree mediante l’uso di integrali. c) Cenni agli integrali impropri su intervalli illimitati. 6. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Definizioni di equazione differenziale (in forma normale e non) e di ordine di un’equazione differenziale. Soluzione e soluzione generale di un’equazione differenziale. Esempi di equazioni differenziali. Problema di Cauchy. 7. ALGEBRA LINEARE. a) Vettori geometrici. Vettori in R^n . Matrici a coefficienti reali. Prodotto tra matrici e sue proprietà. Sistemi lineari in forma matriciale Ax = b. Risoluzione sistemi con il metodo Gauss. b) Rango (o caratteristica di A). Determinante di matrici quadrate. Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer. Inversa di una matrice quadrata. c) Il prodotto scalare e sue proprietà. Norma (o modulo) di un vettore. Vettori ortogonali. Cenni di geometria analitica. Prodotto vettoriale in R^3.
------------------------
MM: statistica
------------------------
Il programma del corso viene svolto mediante lezioni frontali che alternano teoria ad esercizi risolti in aula. Gli esercizi vertono soprattutto sull'analisi di dati sperimentali raccolti nel laboratorio del docente o in laboratori di biotecnologie. Lezioni • il metodo scientifico: cenni relativi all'approccio filosofico di Popper, Khun e Lakatos, e concetto di verifica/falsificazione di ipotesi • variabili e misure, distribuzioni di frequenza di dati di una variabile discreta e continua, indici di posizione di una distribuzione e rappresentazioni grafiche • elementi di teoria delle probabilità: concetto di probabilità, cenni storici su approccio frequentista, soggettivista e bayesiano, regole per la somma e il prodotto di probabilità, teorema di Bayes • distribuzioni discrete di probabilità: distribuzioni Binomiale e di Poisson e loro utilizzo in esperimenti di diluizione limite con cellule • distribuzioni continue di probabilità: concetto di densità di probabilità, la distribuzione Normale e la statistica Z • l'inferenza statistica e problemi concernenti la stima dei parametri di una distribuzione continua di probabilità. Concetti di popolazione e campione. Il teorema del limite centrale • la distribuzione di Student e la statistica t. Calcolo degli intervalli di confidenza della media, confronto tra medie per dati appaiati e non appaiati • proprietà matematiche della varianza e teoria della propagazione degli errori • pianificazione e potenza statistica • la distribuzione χ2 e calcolo dell'intervallo di confidenza della varianza • test di bontà di adattamento e test χ2 per l'analisi della tabelle di contingenza • data dredging e test ANOVA • la correlazione e la regressione lineare Il corso segue il percorso didattico definito nel testo di riferimento fino al capitolo 17 (incluso). Le integrazioni al testo riguardano i seguenti argomenti: nozioni di teoria della probabilità, le distribuzioni di probabilità nel laboratorio biologico, la teoria della propagazione degli errori. Testo di riferimento: Michael C. Whitlock, Dolph Schluter. Analisi Statistica dei dati biologici. Zanichelli, 2010. ISBN: 978-88-08-06297-0 Il materiale didattico relativo alle lezioni del docente è disponibile al sito web: http://profs.scienze.univr.it/~chignola/teaching.html

Bibliografia

Modalità d'esame

------------------------
MM: matematica
------------------------
L'esame consiste in una prova scritta da svolgere in 3 ore. Non sono previste prove intermedie né esami orali. La prova scritta è composta da 6 esercizi. Il punteggio massimo della prova è 30. La prova potrà vertere su tutti gli argomenti trattati a lezione. Durante lo svolgimento della prova non è consentito l'utilizzo di alcun materiale didattico né dispositivo elettronico. Nella valutazione degli esericizi si terrà in considerazione, oltre la correttezza dei risultati ottenuti, la capacità di spiegare il procedimento utilizzato per la soluzione ed eventuali riferimenti a risultati teorici (ad esempio teoremi) illustrati a lezione. L'esame relativo al modulo di matematica si considera superato con un punteggio di almeno 18.
------------------------
MM: statistica
------------------------
Per superare l'esame gli studenti devono dimostrare di aver compreso i concetti di base della teoria della probabilità e della verifica/falsificazione delle ipotesi, e saper applicare tali concetti a dati raccolti in un generico laboratorio biotecnologico al fine di analizzarli ed interpretarli. L'esame consiste in una prova scritta in cui gli studenti devono risolvere 4 esercizi in un tempo massimo di 2 ore. Gli esercizi riguardano l'analisi di dati ottenuti in esperimenti biologici e biomedici. Durante la prova gli studenti possono consultare tutto il materiale didattico ma non usare personal computers o altra strumentazione elettronica in grado di connettersi ad internet. Ad ogni esercizio viene assegnato un punteggio massimo di 8 punti e il voto complessivo della prova viene dato dalla somma dei punti ottenuti. La prova viene considerata superata con il raggiungimento di almeno 18 punti.

Il voto finale del corso viene determinato dalla media dei voti ottenuti nelle due prove di Matematica e Statistica pesata sul numero dei crediti formativi dei due corsi secondo la seguente formula: voto finale = (2/3) x1 + (1/3) x2 dove x1 e x2 sono rispettivamente i voti ottenuti nella prova di Matematica e nella prova di Statistica.