Studiare
In questa sezione è possibile reperire le informazioni riguardanti l'organizzazione pratica del corso, lo svolgimento delle attività didattiche, le opportunità formative e i contatti utili durante tutto il percorso di studi, fino al conseguimento del titolo finale.
Piano Didattico
Il piano didattico è l'elenco degli insegnamenti e delle altre attività formative che devono essere sostenute nel corso della propria carriera universitaria.
Selezionare il piano didattico in base all'anno accademico di iscrizione.
1° Anno
Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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1 module among the following
1 module between the following (a.a. 2023/24 Homological Algebra not activated - a.a. 2024/25 Computational Algebra not activated)
3 modules among the following
Legenda | Tipo Attività Formativa (TAF)
TAF (Tipologia Attività Formativa) Tutti gli insegnamenti e le attività sono classificate in diversi tipi di attività formativa, indicati da una lettera.
Mathematical finance (2023/2024)
Codice insegnamento
4S001109
Docente
Coordinatore
Crediti
6
Lingua di erogazione
Inglese
Settore Scientifico Disciplinare (SSD)
MAT/06 - PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Periodo
I semestre dal 2 ott 2023 al 26 gen 2024.
Corsi Singoli
Autorizzato
Obiettivi di apprendimento
Il corso "Mathematical Finance", erogato nell'ambito della Laurea Magistrale internazionalizzata in Matematica, si propone di applicare i principali concetti del calcolo stocastico a tempo discreto e continuo nell'ambito della moderna teoria dei mercati finanziari. In particolare verranno utilizzati gli strumenti caratterizzanti il calcolo stocastico di Ito per la modellizzazione e l'analisi delle dinamiche temporali di, e.g., derivati finanziari, tassi d'interesse, portafogli strutturati, etc., e determinate da (sistemi di) equazioni differenziali stocastiche con rumore di tipo Lévy, anche in forma backward ed alle derivate parziali. Tra gli ingredienti fondamentali del corso sono quindi incluse le basi della teoria delle martingale a tempo discreto e continuo, l'integrazione stocastica, il calcolo differenziale di Ito-Doeblin, i teoremi di Girsanov e Feynman–Kac, così come le loro applicazioni alla teoria dell'option pricing, ivi comprendendo modelli di tipo path-dependent ed a volotalità stocastica.
Prerequisiti e nozioni di base
Strumenti di base del calcolo delle probabilità. Conoscenza di base della teoria dei processi stocastici. Preferenziale: conoscenza dei rudimenti del calcolo stocastico.
Programma
[1] Analisi stocastica: basi
Nozioni di base sui processi stocastici
Processi stocastici: principali esempi in tempo discreto e continuo Integrazione stocastica
Il lemma di Itô-Döblin
SDE: introduzione ed esempi (ad esempio: caso lineare, caso disturbo multiplicativo)
Soluzione di SDE come processi di Markov
Formula di Feynman-Kac
Teorema di Girsanov
Controllo stocastico: introduzione ed esempi (ad esempio: principio di programmazione dinamica, principio del massimo di Pontryagin)
[2] Modelli a tempo discreto
Opzioni, processo di valore, strategie di copertura, completezza, arbitraggio
Teoremi fondamentali dell' Asset Pricing (in tempo discreto)
Alberi binomiali
Camminata casuale e prezzi
Formula di Balck e Scholes (derivata dall'analisi degli alberi binomiali)
[3] Moto Browniano (MB)
Principali proprietà del MB: filtrazione generata da MB, proprietà martingale, variazione quadratica, volatilità, proprietà di riflessione, ecc.
[4] Modelli a tempo continuo
Equazione di Black-Scholes-Merton
Evoluzione del portafoglio / valori delle opzioni
Analisi di sensibilità (greche)
L'approccio Martingala
Strategie di copertura e replica
Modelli di mercato azionario
Paradosso di Siegel
Pacchetti ed opzioni esotiche
[5] Modelli di tassi d'interesse
Modelli Markoviani per tassi a breve
Modello di Merton
Tasso di interesse stocastico per il modello di Black e Scholes
Portafoglio di copertura
Cambio di numeraire (anche in presenza di più fonti di rischio)
Caps,floors, collars
Modelli per la dinamica dei tassi di interesse
Modello di Vasicek
Modello di Cox-Ingersoll-Ross
Modellistica dei tassi a termine
Modelli di arbitraggio per struttura a termine
Struttura di Heath-Jarrow-Morton
Estensione Hull-White del modello di Vasicek
[6] Scelta del portafoglio e prezzi delle attività
Modelli di Bachelier e Samuelson
Funzioni di utilità
Il problema di Merton (valore e approccio alla programmazione statica)
Problema di massimizzazione dell'utilità
[7] Miscellanea
Valutazione delle opzioni nei modelli Gaussiani
Forward LIBORs
Modellistica dei tassi di swap
Approccio Mean Field Games ai sistemi di agenti finanziari interagenti
Calibrazione per modelli di tassi di interesse
Controllo stocastico e modelli finanziari (ad esempio: il caso del modello Heston)
Modelli a volatilità stocastica ed applicazioni
Espansioni (polinomiali, asintotiche) per modelli finanziari
EDS su reti con applicazioni in finanza
Bibliografia
Modalità didattiche
Lezioni frontali con condivisione di materiale didattico via slide, lecture notes, articoli scientifici e specifiche referenze bibliografiche per approfondimenti e (opzionale) possibilità di sviluppo di progetti in itinere.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame orale con esercizi scritti:
l'esame è basato su domande a risposta aperta e sulla discussione di esercizi da svolgere per iscritto nel corso della prova e/o su domande/esercizi a valere su specifici progetti presentati in sede di esame e previamente concordati con il docente. Le domande, aperte ed esercizi, mirano alla verifica delle conoscenze relative agli argomenti sviluppati nel programma del corso, nonché alla risoluzione di problemi concreti propri della Finanza Matematica, ed alla acquisita conoscenza degli associati strumenti di modellazione stocastica.
Criteri di valutazione
Valutazione della comprensione degli strumenti matematici, con particolar riferimento alla teoria del calcolo stocastico, necessari alla rigorosa definizione dei principali modelli della finanza matematica moderna.
Criteri di composizione del voto finale
Il voto finale è il risultato della valutazione della prova orale finale, con possibile inclusione delle valutazioni sovlte in itinere relativamente a progetti di approfondimento (opzionalI) svolti dallo studente .
Lingua dell'esame
Inglese / English
Sustainable Development Goals - SDGs
Questa iniziativa contribuisce al perseguimento degli Obiettivi di Sviluppo Sostenibile dell'Agenda 2030 dell'ONU.Maggiori informazioni su www.univr.it/sostenibilita