Studiare
In questa sezione è possibile reperire le informazioni riguardanti l'organizzazione pratica del corso, lo svolgimento delle attività didattiche, le opportunità formative e i contatti utili durante tutto il percorso di studi, fino al conseguimento del titolo finale.
Piano Didattico
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Laurea magistrale in Mathematics - Immatricolazione dal 2025/2026Il piano didattico è l'elenco degli insegnamenti e delle altre attività formative che devono essere sostenute nel corso della propria carriera universitaria.
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1° Anno
| Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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1 module between the following:
- A.A. 2024/2025 Computational algebra not activated;
- A.A. 2025/2026 Homological Algebra not activated.1 module between the following 3 modules among the following
- A.A. 2025/2026 Homological algebra not activated.Legenda | Tipo Attività Formativa (TAF)
TAF (Tipologia Attività Formativa) Tutti gli insegnamenti e le attività sono classificate in diversi tipi di attività formativa, indicati da una lettera.
Stochastic calculus (2024/2025)
Codice insegnamento
4S008268
Docente
Coordinatore
Crediti
6
Lingua di erogazione
Inglese
Settore Scientifico Disciplinare (SSD)
MAT/06 - PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Periodo
II semestre dal 3 mar 2025 al 13 giu 2025.
Corsi Singoli
Autorizzato
Obiettivi di apprendimento
Il corso "Stochastic Calculus", erogato nell'ambito della Laurea Magistrale internazionalizzata in Matematica, si propone di introdurre la teoria dei processi stocastici a tempo continuo, con particolare riguardo alla definizione dei processi (sub/super/locale/semi-) martingala, insieme ai relativi teoremi principali quali, e.g. , il teorema di rappresentazione martingala, le disuguaglianze di Doob, il teorema di Girsanov, il teorema di arresto ottimo, ecc., per poi definire e costruire il processo stocastico moto Browniano, dimostrando le sue principali proprietà. Inoltre, verranno forniti gli strumenti dell'integrazione stocastica e del calcolo differenziale stocastico come, ad esempio, la formula di Ito-Doeblin, il teorema di Feynman-Kac, ecc., così da introdurre le basi della teoria delle equazioni differenziali stocastiche, considerando anche applicazioni in, e.g., biologia, finanza, ed evoluzione delle popolazioni.
Prerequisiti e nozioni di base
Strumenti di base del calcolo delle probabilità, e.g.: definizione di v.a. discrete/continue, teorema centrale del limite, catene di Markov a tempo discreto/continuo.
Programma
* Probabilità: richiami e risultati di base
* Processi stocastici: richiami, definizioni e proprietà principali; Processi Martingala; Teorema del campionamento opzionale; Variazione quadratica (per processi stocastici in generale e martingale in particolare);
* Processi stocastici a tempo discreto: richiami ed enfasi sulla passeggiata aleatoria (a partire dal modello binomiale, anche in più di 1 dimensione);
* Diverse costruzioni del moto Browniano: Teorema di consistenza di Kolmogorov / Kolmogorov-
Cénstor;
* Proprietà del moto browniano
* Derivazione / costruzione / e nozioni di base degli integrali stocastici (Ito, Stratonovich)
* Teorema di Ito-Doeoblin: Criteri di Lévy / Teorema di Rappresentanzione Martingala
* Approccio Stratonovich / Teorema di rappresentazione di Ito (applicazioni / esempi)
* Processi di Markov e relazione (i) con il moto browniano [ulteriori proprietà del mB]
* Formula di Girsanov / Teorema di Cameron-Martin (Girsanov) e Martingala esponenziale
* Costruzione e derivazione rigorosa di equazioni differenziali stocastiche
* Soluzioni forti / Lemma di Gronwall/ Soluzioni deboli (per EDS)
* Diffusioni / Approccio via teoria dei semigruppi / Proprietà di Markov
* Formula di Dynkin / equazioni di Kolmogorov / teorema di Feynman-Kac
* Interazione tra Equazioni Differenziali (deterministiche) e EDS (tramite il teorema di Feynman-Kac)
* Applicazioni EDS in ambito finanziario
Bibliografia
Modalità didattiche
Lezioni frontali con condivisione di slides, lecture notes, specifiche referenze bibliografiche per particolari approfondimenti teorici.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame orale con esercizi scritti:
l'esame è basato su domande a risposta aperta e/o sulla presentazione di un progetto concordato con il docente del corso e/o sulla discussione di esercizi da svolgere per iscritto nel corso della prova. Le domande, aperte ed esercizi, mirano alla verifica delle conoscenze relative agli argomenti sviluppati nel programma del corso, nonché alla risoluzione di problemi concreti ed alla acquisita conoscenza degli associati strumenti di modellazione stocastica.
Criteri di valutazione
Valutazione della comprensione e capacità di utilizzo dei principali strumenti dell'analisi stocastica, con enfasi sulla loro rigorosa definizione/derivazione analitica.
Criteri di composizione del voto finale
Il voto finale è il risultato della valutazione della prova orale finale, con possibile inclusione delle valutazioni sovlte in itinere relativamente a progetti di approfondimento (opzionalI) svolti dallo studente .
Lingua dell'esame
Inglese / English
