Codice insegnamento

4S00254

Docenti

Paolo Dai Pra, Francesca Collet

Coordinatore

Paolo Dai Pra

Crediti

6

Lingua di erogazione

Italiano

Settore Scientifico Disciplinare (SSD)

MAT/06 - PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA

Periodo

I semestre dal 1 ott 2025 al 30 gen 2026.

Corsi Singoli

Autorizzato

Orario Lezioni Moodle Seminari 0

Obiettivi di apprendimento

L’obbiettivo dell’insegnamento è di presentare alcuni classi di modelli probabilistici di particolare rilevanza applicativa, in particolare modelli dinamici. L’enfasi è posta, oltre che sul rigore matematico, sullo sviluppo della capacità di cogliere gli aspetti essenziali di un fenomeno reale e tradurli in un modello la cui analisi, analitica o numerica, sia accessibile.L’argomento principale del corso è costituito dalle teoria delle catene di Markov, tanto a tempo discreto che continuo. Ogni sviluppo della teoria è accompagnato dalla presentazione di esempi di rilevante interesse applicativo, motivati dall’Economia, dalle Scienze Fisiche e Biologiche, ma anche da problemi di natura computazionale che emergono nella ricerca di algoritmi efficienti. Nella parte finale del corso verranno introdotte le nozioni di valor atteso condizionale e martingala.Al termine del corso lo studente avrà gli strumenti per usare in ambito sia teorico che applicativo una vasta gamma di modelli probabilistici, comprendendone i limiti e l'effettiva applicabilità, anche da un punto di vista computazionale. Sarà inoltre in grado di avere una visione unificante e astratta di classi di problemi con caratteristiche simili, e di affrontare la lettura di testi anche avanzati.

Prerequisiti e nozioni di base

Probabilità di base

Programma

1. Valore atteso condizionale e distribuzione condizionale. Martingale. Teorema d'arresto e teorema di convergenza.
2. Catene di Markov a tempo discreto. Proprietà di Markov e probabilità di transizione. Irriducibilità, aperiodicità. Distribuzioni stazionarie. Distribuzioni reversibili.
3. Tempi di ingresso. Analisi a un passo. Convergenza alla distribuzione stazionaria. Legge dei grandi numeri per catene di Markov. Metodi Markov Chain Monte Carlo: algoritmo di Metropolis e Gibbs sampler.
4. Catene di Markov riducibili. Stati transitori e stati ricorrenti. Probabilità di assorbimento.
5. Catene di Markov a tempo continuo. Il processo di Poisson e sue proprietà. La proprietà di Markov a tempo continuo. Semigruppo associato ad una catena di Markov: continuità e derivabilità; generatore. Equazioni di Kolmogorov. Distribuzioni stazionarie. Formula di Dynkin. Costruzione probabilistica di una catena di Markov a tempo continuo.

Bibliografia

Modalità didattiche

Tutti gli argomenti saranno illustrati a lezione. Materiale addizionale, quale esercizi settimanali, appunti ed ulteriori referenze, saranno disponibile alla pagina Moodle del corso.
Saranno specificamente tutelati gli studenti e le studentesse in situazioni di limitazione agli spostamenti per effetto di disposizioni nazionali o in situazioni particolari di fragilità. In questi casi gli studenti e le studentesse sono invitati a contattare direttamente il docente per organizzare le modalità di recupero più opportune.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame di profitto consta di una prova scritta e una prova orale, che dovranno essere superate al medesimo appello. Per superare l'esame si deve ottenere una votazione complessiva di almeno 18/30.
-- La prova scritta, della durata massima di 150 minuti, prevede di risolvere alcuni esercizi basati sui contenuti dell'insegnamento. La prova si intende superata se si ottiene un punteggio pari o superiore a 16/30.
-- La prova orale deve essere sostenuta nel medesimo appello d'esame nel quale si è superata la prova scritta e consiste in una discussione dei contenuti teorici trattati nell'insegnamento. Se considerata sufficiente, alla prova potrà essere attribuito un punteggio da 0 a 4 trentesimi, che andrà sommato al punteggio ottenuto nello scritto. Qualora la prova orale non venga superata o sostenuta, il voto della prova scritta viene annullato.

Criteri di valutazione

Per superare l'esame, lo studente dovrà dimostrare:
-- di aver assimilato le nozioni teoriche, mostrando conoscenza dettagliata di definizioni ed enunciati, oltre ad alcune dimostrazioni;
-- di essere in grado di applicare la teoria alla risoluzione di problemi;
-- di sapersi esprimere in modo preciso e rigoroso, usando la terminologia tecnica in maniera appropriata.

Criteri di composizione del voto finale

Il voto finale dell'esame di profitto è dato dalla somma dei punteggi attribuiti alla prova scritta e alla prova orale.

Lingua dell'esame

Italiano

Sustainable Development Goals - SDGs

Questa iniziativa contribuisce al perseguimento degli Obiettivi di Sviluppo Sostenibile dell'Agenda 2030 dell'ONU.
Maggiori informazioni su www.univr.it/sostenibilita