Programma

Programma del Corso Analisi Matematica I e Analisi Matematica


Nozioni di Teoria degli Insiemi. Numeri Naturali, loro proprietà, modello geometrico, sommatoria. Principio di Induzione. Numeri Interi, loro proprietà e modello geometrico. Numeri Razionali, loro proprietà e modello geometrico. Numeri Reali, Assioma di Separazione. Funzione, dominio, codominio, insieme delle immagini, grafico, funzione iniettiva, surgettiva e bigettiva, funzione composta. Funzione inversa, funzione strettamente monotona, debolmente monotona. Relazioni fra invertibilità e monotonia. Intervalli. Funzione Parte Intera. Funzione valore assoluto e proprietà. Funzione quadrato. Maggiorante, minorante, insieme superiormente limitato, insieme inferiormente limitato, massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Caratterizzazione estremo superiore ed inferiore. Funzione potenza ad esponente naturale, funzione potenza ad esponente intero, funzione radice ennesima, polinomio, funzione razionale, funzione potenza ad esponente razionale, funzione esponenziale e proprietà. Funzione logaritmo e proprietà. Proprietà fondamentali degli estremi superiore ed inferiore. Relazione fra estremo superiore/inferiore della somma di funzioni e estremo superiore/inferiore dei singoli addendi. Massimo, minimo, punto di massimo, punto di minimo di una funzione. Introduzione ai limiti. Intorno di un punto, intorno forato di un punto, punto di accumulazione (finito ed infinito), punto isolato. Limite finito in un punto. Limite finito all'infinito. Relazioni fra limite all'infinito di funzione pari e di funzione dispari. Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione). Teorema di unicità del limite di funzioni convergenti (con dimostrazione), teorema di limitatezza locale (con dimostrazione), teorema del confronto dei limiti e confronto di funzioni (con dimostrazione), teorema dei due carabinieri (con dimostrazione), intersezione infinita di intorni può non essere intorno, relazione fra limite di una funzione e limite del valore assoluto di una funzione, teorema di caratterizzazione del limite. Teorema su somma algebrica, prodotto e quoziente di limiti finiti (con dimostrazione), limite infinito ed esempi, teorema di non limitatezza locale (con dimostrazione). Teorema di unicità del limite (con dimostrazione), teorema del confronto (con dimostrazione), limite di potenza ad esponente naturale in un punto e all'infinito, successione, limite di a^(1/n), limite di polinomio in un punto. Binomio di Newton, limiti di successioni, estensioni dei teoremi relativi all'algebra dei limiti: prodotto di infinitesima per limitata, prodotto di infinita per limitata, quoziente di limitata su infinita. Estensioni dei teoremi relativi all'algebra dei limiti: quoziente di infinita su convergente, quoziente di infinita o convergente su infinitesima, esempi relativi, quoziente di infinita su limitata, punto di accumulazione da destra e da sinistra, limite destro e sinistro. Limiti di funzioni razionali intere e fratte, limiti di seno e coseno, limiti notevoli: sinx/x e (1-cos x)/x^2.Teorema limiti per sostituzione, teorema limiti per successione, limite all'infinito di sin x.Limiti all'infinito di funzioni razionali fratte, limiti di successioni. Continuità: in un punto isolato, in un punto di accumulazione, in un insieme. Esempi: polinomi, esponenziale, seno, coseno, parte intera. Discontinuità eliminabile, di I e di II specie. Prolungamento per continuità. Esempi di funzioni discontinue. Applicazione della continuità nello studio di funzioni del tipo (f(x))^(g(x)). Continuità della funzione inversa e corollario. Derivata: introduzione e significato geometrico, funzione derivabile in un punto, retta tangente, relazione fra derivabilità e continuità, esempi: valore assoluto, radice, funzione costante, quadrato, seno, coseno, esponenziale. Teorema del differenziale, derivata di somma, prodotto, quoziente di funzioni derivabili, derivabilità di potenza ad esponente naturale, derivata della funzione inversa, derivata di arcoseno, arcocoseno, logaritmo, derivata di potenza ad esponente intero. Derivata di potenza ad esponente razionale e reale. Derivata della funzione composta. Retta tangente. Primitiva. Teoremi sulle primitive in un intervallo. Integrale indefinito. Teorema di esistenza delle primitive. Linearità degli integrali indefiniti. Teorema di integrazione per sostituzione. Metodo di sostituzione.Integrazione per parti. Applicazioni. Integrale delle funzioni razionali.Integrali delle funzioni razionali con denominatore avente radici reali multiple, non reali semplici e multiple. Sostituzione di integrali la cui integranda è una funzione razionale di sin^2 x, cos^2 x, sinxcosx, sinx, cosx, e^x, logx/x.Integrazione di alcune funzioni irrazionali. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone.Teorema sulle discontinuità di una funzione monotona. Limiti notevoli. Definizione di sottosuccessione, Teorema di compattezza delle successioni limitate. Teorema di esistenza delle successioni minimizzanti e massimizzanti. Teorema di Weierstrass (con dimostrazione). Teorema di Weierstrass generalizzato. Teorema degli zeri. Teorema degli zeri generalizzato. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale,Punti stazionari, massimi e minimi locali, teorema di Fermat, test di monotonia,caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla. Teorema di de l'Hospital. Teorema del valor medio (o di Lagrange); derivata seconda: significato geometrico, concavità, convessità, rette tangenti.Studio del grafico di una funzione. Differenziale e approssimazione lineare, o piccolo; formula di Taylor/Mac Laurin con resto di Peano, formula di Taylor con resto di Lagrange. Serie numeriche, criteri di convergenza. Serie con parametri.Introduzione al calcolo integrale; definizione di integrale e varie interpretazioni; classi di funzioni integrabili; proprietà dell'integrale, teorema della media.Teorema fondamentale del calcolo integrale.Integrali generalizzati; integrali di funzioni non limitate; criteri di integrabilità al finito.Integrali generalizzati: integrazione su intervalli illimitati; criteri di integrabilità all'infinito.Funzioni integrali; secondo teorema fondamentale del calcolo integrale.Integrali di funzioni illimitate e integrali su intervalli illimitati e loro convergenza.

Modalità d'esame

L'esame si compone di due prove: scritto ed orale. Lo scritto prevede lo svolgimento di esercizi sugli argomenti svolti a lezione con eventuali quesiti teorici. Durante lo scritto non è ammessa l'uscita prima della consegna definitiva. Non sono concessi formulari, testi, appunti, calcolatrici, dispositivi elettronici et similia. Lo studente sul banco dovrà disporre solo di un documento di identità valido con foto, matricola, penna nera o blu, matita e gomma. Giacche e borse dovranno essere appese agli appositi appendiabiti. Saranno corretti solo elaborati scritti a penna nera o blu nella versione definitiva in scrittura italiana comprensibile (non si correggono le brutte copie). Si viene ammessi all'orale con una votazione maggiore o uguale a 16/30. L'orale è facoltativo per gli studenti che hanno superato lo scritto con votazione sufficiente, ossia maggiore o uguale a 18/30: in tal caso è confermato il voto dello scritto. Per gli altri il voto finale sarà una media delle valutazioni dello scritto e dell'orale. Gli studenti che necessitano di integrazioni sono pregati di contattare anticipatamente il docente responsabile del corso (dott.ssa Briata) al seguente indirizzo federica.briata@univr.it

Materiale e documenti

•   Boscaini_correzioneCompitino   (pdf, it, 246 KB, 24/01/13)
•   Boscaini_DiarioDelCorso   (pdf, it, 55 KB, 31/01/13)
•   Boscaini_lezione31gennaio2013   (pdf, it, 184 KB, 01/02/13)
•   Boscaini_studiofunzione_integrali   (pdf, it, 455 KB, 31/01/13)
•   Briata_DiarioDelCorso   (pdf, it, 55 KB, 31/01/13)
•   Correzione_provetta13XII2012   (pdf, it, 246 KB, 18/12/12)
•   Derivate_foglio1   (pdf, it, 221 KB, 25/12/12)
•   Derivate_foglio2   (pdf, it, 267 KB, 25/12/12)
•   Disequazioni   (pdf, it, 204 KB, 25/12/12)
•   EserciziAnalisiI   (pdf, it, 259 KB, 24/01/13)
•   Esercizio_1_filaA_7feb2013   (pdf, it, 454 KB, 19/02/13)
•   Esercizio_1_filaB_7feb2013   (pdf, it, 437 KB, 19/02/13)
•   Esercizio_1_filaC_7feb2013   (pdf, it, 438 KB, 19/02/13)
•   Esercizio_1_filaD_7feb2013   (pdf, it, 443 KB, 19/02/13)
•   Esercizio_2_filaA_7feb2013   (pdf, it, 570 KB, 19/02/13)
•   Esercizio_2_filaB_7feb2013   (pdf, it, 537 KB, 19/02/13)
•   Esercizio_2_filaC_7feb2013   (pdf, it, 532 KB, 19/02/13)
•   Esercizio_2_filaD_7feb2013   (pdf, it, 526 KB, 19/02/13)
•   Esercizio_3_filaA_7feb2013   (pdf, it, 469 KB, 19/02/13)
•   Esercizio_3filaB_7feb2013   (pdf, it, 463 KB, 19/02/13)
•   Esercizio_3_filaC_7feb2013   (pdf, it, 447 KB, 19/02/13)
•   Esercizio_3_filaD_7feb2013   (pdf, it, 439 KB, 19/02/13)
•   Esiti_Scritto_10luglio2013   (vnd.ms-excel, it, 27 KB, 18/07/13)
•   Esiti_Scritto_21feb2012_parte1   (pdf, it, 216 KB, 26/02/13)
•   Esiti_Scritto_21feb2012_parte2   (pdf, it, 199 KB, 26/02/13)
•   Esiti_Scritto_21feb2012_parte3   (pdf, it, 196 KB, 26/02/13)
•   Esiti_Scritto_AnalisiI_13settembre2013   (vnd.ms-excel, it, 26 KB, 22/09/13)
•   Esiti_Scritto_AnalisiI_24luglio2013   (octet-stream, it, 13 KB, 29/07/13)
•   EsitoScrittoAnalisi1_7febbraio2013_parte1   (pdf, it, 499 KB, 18/02/13)
•   EsitoScrittoAnalisi1_7febbraio2013_parte2   (pdf, it, 557 KB, 18/02/13)
•   EsitoScrittoAnalisi1_7febbraio2013_parte3   (pdf, it, 578 KB, 18/02/13)
•   EsitoScrittoAnalisi1_7febbraio2013_parte4   (pdf, it, 429 KB, 18/02/13)
•   Esito_scritto_analisiI_25settembre2013   (vnd.ms-excel, it, 26 KB, 29/09/13)
•   Integrali   (pdf, it, 286 KB, 25/12/12)
•   Sellaroli_DiarioDelCorso   (pdf, it, 90 KB, 31/01/13)
•   SoluzioneEX1_filaA_13settembre2013_AnalisiI   (jpeg, it, 249 KB, 21/09/13)
•   Soluzione_EX1_filaB_AnalisiI_13settembre2013   (pdf, it, 177 KB, 22/09/13)
•   SoluzioneEX2_filaA_13settembre2013_AnalisiI   (jpeg, it, 298 KB, 21/09/13)
•   Soluzione_EX2_filaB_AnalisiI_13settembre2013   (pdf, it, 238 KB, 22/09/13)
•   SoluzioneEX3_filaA_13settembre2013_AnalisiI   (jpeg, it, 290 KB, 21/09/13)
•   Soluzione_EX3_filaB_AnalisiI_13settembre2013   (pdf, it, 207 KB, 22/09/13)
•   Soluzioni_EX1_filaA_10luglio2013   (pdf, it, 213 KB, 22/07/13)
•   Soluzioni_EX1_filaB_10luglio2013   (pdf, it, 209 KB, 22/07/13)
•   Soluzioni_EX2_filaA_10luglio2013   (pdf, it, 207 KB, 22/07/13)
•   Soluzioni_EX2_filaB_10luglio2013   (pdf, it, 201 KB, 22/07/13)
•   Soluzioni_EX3_filaA_10luglio2013   (pdf, it, 194 KB, 22/07/13)
•   Soluzioni_EX3_filaB_10luglio2013   (pdf, it, 194 KB, 22/07/13)
•   Soluzioni_scritto_Ex1_filaA_21feb2013   (pdf, it, 195 KB, 09/04/13)
•   Soluzioni_scritto_Ex1_filaB_21feb2013   (pdf, it, 190 KB, 09/04/13)
•   Soluzioni_scritto_Ex2_filaA_parte1_21feb2013   (pdf, it, 182 KB, 12/04/13)
•   Soluzioni_scritto_Ex2_filaA_parte2_21feb2013   (pdf, it, 129 KB, 12/04/13)
•   Soluzioni_scritto_Ex2_filaB_parte1_21feb2013   (pdf, it, 171 KB, 12/04/13)
•   Soluzioni_scritto_Ex2_filaB_parte2_21feb2013   (pdf, it, 119 KB, 12/04/13)
•   Soluzioni_scritto_Ex3_filaA_21feb2013   (pdf, it, 180 KB, 09/04/13)
•   Soluzioni_scritto_Ex3_filaB_21feb2013   (pdf, it, 185 KB, 09/04/13)
•   Soluzioni_scritto_filaA_24luglio2013   (pdf, it, 423 KB, 10/08/13)
•   Soluzioni_scritto_filaB_24luglio2013   (pdf, it, 421 KB, 10/08/13)
•   SuccessioniLimitiContinuità   (pdf, it, 172 KB, 18/12/12)
•   Testo_provetta13XII2012   (pdf, it, 43 KB, 18/12/12)
•   Testo_Scritto_10luglio2013   (pdf, it, 22 KB, 18/07/13)
•   Testo_scritto_13settembre2013_AnalisiI   (pdf, it, 38 KB, 21/09/13)
•   Testo_Scritto_21feb2012   (pdf, it, 21 KB, 26/02/13)
•   Testo_Scritto_24luglio2013   (pdf, it, 34 KB, 27/07/13)
•   TestoScritto_7febbraio2013   (pdf, it, 23 KB, 14/02/13)
•   Tutoraggio_Boscaini_Domini   (pdf, it, 171 KB, 18/12/12)
•   Tutoraggio_Boscaini_Grafici   (pdf, it, 378 KB, 18/12/12)
•   Tutoraggio_Boscaini_SviluppiTaylor   (pdf, it, 367 KB, 18/12/12)
•   ValutazioneProvetta13XII2012   (pdf, it, 320 KB, 18/12/12)