L'insegnamento è organizzato come segue:

Obiettivi formativi

Il corso di Mathematical Finance per la Laurea Magistrale internazionalizzata (erogata completamente in lingua Inglese) si propone di introdurre i principali concetti del calcolo stocastico a tempo discreto e continuo nell'ambito della moderna teoria dei mercati finanziari. In particolare lo scopo fondamentale del corso è quello di fornire gli strumenti matematici propri del setting del calcolo stocastico di Itȏ per la determinazione, lo studio e l'analisi di modelli per azioni e/o tassi d'interesse determinati da equazioni differenziali stocastiche con rumore Browniano. Ingredienti fondamentali sono le basi della teoria delle martingale a tempo continuo, i teoremi Girsanov e Faynman-Kac e le loro applicazioni alla teoria dell'option pricing con specifici esempi in ambito azionario, ivi comprendendo modelli di tipo path-dependent, e nell'ambito dei modelli per tassi d'interesse.

Programma

Modelli a tempo discreto
• Prodotti finanziari, processi valore, strategie di copertura, completezza, arbitraggio
• Teoremi fondamentali dell' asset pricing (a tempo discreto)

Il modello binomiale per l' Asset Pricing
• modelli binomiali uno/multi periodali
• Interludio: passeggiate casuali e loro principali proprietà (passegguate casuali simmetriche, riscalate, proprietà martingala e variazione quaratica)
• Derivazione dell'equazione i Black e Schloes (limite a tempo continuo

Moto Browniano (BM)
• riassunto delle principali proprietà del MB: filtrazione generata, proprietà martingala, variazione quadratica, volatilità proprietà di rilfessione

Calcolo stocastico (richiami)
• integrale di Itȏ
• Formula di Itȏ-Döblin
• Equazione di Black-Scholes-Merton
• Evoluzione di portafogli/processi di valore
• Soluzione dell'equazione di Black-Scholes-Merton Equation
• Analisi di sensitività

Prezzaggio neutrale al rischio
• Misura neutrale al rischio e teorema di Girsanov's
• Prezzaggio sotto la misura neutrale al rischio
• Teoremiii fondamentali dell'Asset Pricing
• Esistenza ed unicità della misura neutrale al rischio
• Pagamento di dividendi, anche continui
• Forwards e Futures

Modello binomiale: approcci numerici
•Parametri caratteristici per il modello binomiale
•Implementazione numerica del modello binomiale
•Hedging per modelli binomiali


Black and Scholes: richiami ed implementazioni numeriche
•Richiami per la formula di Itȏ-Döblin
•Prezzaggio del rischio, ed hedging numerico, per per opzioni plain vanilla
•Apporsimazioni Delta-Vega-Gamma : esperimenti numerici
•Principi del prezzaggio con metodo Morte Carlo: alcuni casi semplici
•Il principio di leverage per per un'opzione

Funzionali del moto Browniano e del moto geometrico Browniano
•Tempi di primo contatto: distribuzioni e densità
•Tempi di occupazione e formula di Takacs
•Definizione di tempo locale e quantità probabilistiche collegate


Applicazioni del moto Browniano (e dei suoi funzionali) a problemi di prezzaggio
•Opzioni barriera
•Opzioni digitali
•Opzioni di tipo accumulators
•Implementazioni numeriche in VBA e MATHCAD


Opzioni di tipo asiatico
•Impatto fixing frequency
•Simulazioni Monte Carlo
•Accuratezza del metodo Monte Carlo: come costruire un intervallo di confidenza per i corrispondenti problemi di prezzaggio
•Metodo Matching Moment (MMM): introduzione
•Il metodo MMM (implementazione numerica) per azioni di tipo asiatico

Strumenti probabilistici avanzati per il trattamento di opzioni esotiche
•Opzioni best-of e the worst-of
•Approccio worst distribution e best distribution per portafogli composti da asssets non correlati
•Estensioni al caso con correlazione


Rischio di credito
•Definizione di default
•I parametri caratteristici per il rischio di credito: PD, EAD, LGD
•Rischio di perdita operativa
•Il modello di Gordy (Basilea)
•Approccio Monte Carlo per le distribuzioni di perdita operativa

Mini corso impartito dal Prof. Paolo Guasoni: il materiale didattico relativo al mini corso in oggetto è costituito dal sottoinsieme di argomenti effettivamente trattati a lezione dal Prof. Guasoni, all'interno del seguente elenco [ contattare direttamente il Prof.Di Persio per maggiori informazioni ] :

1. Classical Theory.
The discussion starts with a review of the Merton consumption-investment problem with constant investment
opportunities, and with its asset-pricing counterpart, the Lucas model.
2. Long-run, state variables, and stochastic investment opportunities.
The discussion starts with the general model of a market with several state variables, the objectives of
equivalent safe rate and equivalent annuity, their corresponding HJB equations, and nite-horizon bounds.
Applications to models of return predictability and stochastic volatility conclude. [4].
3. Transaction Costs.
A market with transaction costs and constant investment opportunities is equivalent to another market,
found explicitly, in which investment opportunities are stochastic, but transaction costs absent. [1].
4. Price Impact.
If trading speed aects execution prices, portfolio weights are no longer controls, but state variables. The
optimal trading speed follows an autonomous diusion process, interpreted as trading volume. Short and
levered positions are endogenously banned by this friction. [5]
5. High-water marks and hedge-fund fees.
In a model of hedge fund compensation, the state variable is the ratio between the fund's assets and its
historical maximum. The long-run solution leads to a simple optimal portfolio, which shows the interplay
between fees and risk aversion. [3, 2]
6. Path-dependent Preferences and Shortfall Aversion.
A model in which the marginal utility from increases in consumption above its historical maximum is lower
than the marginal utility of marginal decreases in consumption (shortfall aversion) can explain high asset
prices and low interest rates, as well as smooth consumption with volatile wealth. [6]
References
[1] S. Gerhold, P. Guasoni, J. Muhle-Karbe, and W. Schachermayer. Transaction costs, trading volume, and the
liquidity premium. Finance and Stochastics, 18(1):1{37, 2014.
[2] P. Guasoni and J. Muhle-Karbe. Long horizons, high risk-aversion, and endogenous spreads. Mathematical
Finance, 25(4):724753, 2011.
[3] P. Guasoni and J. Obloj. The incentives of hedge fund fees and high-water-marks. Mathematical Finance,
2015, 2009.
[4] P. Guasoni and S. Robertson. Portfolios and risk premia for the long run. The Annals of Applied Probability,
22(1):239{284, 2012.
[5] P. Guasoni and M. Weber. Dynamic trading volume. Mathematical Finance, 2015. forthcoming.
[6] Paolo Guasoni, Gur Huberman, and Dan Ren. Shortfall aversion. Available at SSRN 2564704, 2015.

Modalità d'esame

Esame finale: l'esame consisterà in un orale più un problema applicativo svolto in accordo con il prof. Michele Bonollo e relativamente al seguento elenco di case studies:

#1: Stress Test of derivatives portfolios
#2: Derivatives portfolio evaluation and management
#3: Credit Portfolio Risk
#4: Exotic Options Pricing