Studiare
In questa sezione è possibile reperire le informazioni riguardanti l'organizzazione pratica del corso, lo svolgimento delle attività didattiche, le opportunità formative e i contatti utili durante tutto il percorso di studi, fino al conseguimento del titolo finale.
Piano Didattico
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Laurea in Matematica applicata - Immatricolazione dal 2025/2026Il piano didattico è l'elenco degli insegnamenti e delle altre attività formative che devono essere sostenute nel corso della propria carriera universitaria.
Selezionare il piano didattico in base all'anno accademico di iscrizione.
1° Anno
Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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2° Anno Attivato nell'A.A. 2019/2020
Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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3° Anno Attivato nell'A.A. 2020/2021
Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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Legenda | Tipo Attività Formativa (TAF)
TAF (Tipologia Attività Formativa) Tutti gli insegnamenti e le attività sono classificate in diversi tipi di attività formativa, indicati da una lettera.
Sistemi dinamici (2019/2020)
Codice insegnamento
4S00244
Crediti
9
Lingua di erogazione
Italiano
Offerto anche nei corsi:
- Sistemi dinamici del corso Laurea in Matematica Applicata [L-35]
- Sistemi dinamici del corso Laurea in Matematica Applicata [L-35]
Settore Scientifico Disciplinare (SSD)
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
L'insegnamento è organizzato come segue:
Parte I teoria
Parte II Esercitazioni
Parte II teoria
Parte I esercitazioni
Obiettivi formativi
Il corso si propone di introdurre la teoria e alcune applicazioni dei sistemi dinamici continui e discreti, che descrivono l’evoluzione temporale di variabili quantitative.
Al termine del corso lo studente sarà in grado di investigare la stabilità e la relativa natura di un equilibrio, l’analisi qualitativa di un sistema di equazioni differenziali ordinarie e il ritratto in fase di un sistema dinamico in dimensione 1 e 2.
Lo studente sarà altresì in grado di investigare la presenza di cicli limite e la loro natura e di analizzare le applicazioni di base dei sistemi dinamici alla dinamica delle popolazioni, alla meccanica e ai modelli di traffico. Infine sarà in grado di produrre argomentazioni e dimostrazioni rigorose su questi temi e sarà in grado di leggere articoli e testi di sistemi dinamici e applicazioni.
Programma
Modulo 1. Complementi sulle equazioni differenziali ordinarie.
Ripasso su equazioni differenziali del primo ordine lineari, equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti, metodo della variazione delle costanti. Teorema di esistenza e unicita`. Teoria qualitativa delle Equazioni Differenziali Ordinarie: soluzioni massimali, lemmi di Gronwall e del confronto. Soluzione esplicita di equazioni particolari: a variabili separabili, di Riccati, totali. Sistemi lineari.
Modulo 2. ODE come campi vettoriali, analisi qualitativa dello spazio delle fasi.
Orbite e spazio delle fasi. Equilibri, ritratto in fase di dimensione 1, equazioni del secondo ordine e relativi equilibri. Linearizzazione attorno ad un equilibrio, soluzioni periodiche.
Modulo 3. Sistemi lineari.
Sistemi lineari in R2, matrice diagonalizzabile, autovalori reali e non reali. Il caso nilpotente. Diagramma di biforcazione in R2. Sistemi lineari in Rn, sottospazi stabile, instabile e centrale. Linearizzazione attorno ai punti di equilibrio.
Modulo4. Flusso e coniugazione di flussi.
Dipendenza dai dati iniziali, flusso di un campo vettoriale. Dipendenza dai parametri. Equazioni differenziali dipendenti dal tempo. Coniugazione di flussi e cambi di coordinate, push–forward e pull-back. Cambi di coordinate dipendenti dal tempo, riscalamenti di campi vettoriali e riparametrizzazioni del tempo. Teorema di rettificazione locale.
Modulo 5. Integrali primi.
Insiemi invarianti, integrali primi e la derivata di Lie. Foliazioni invarianti e abbassamento dell’ordine. Integrali primi e attrattivita` degli equilibri.
Modulo 6. Equazione di Newton 1-dimensionale.
Ritratto in fase nel caso conservativo. Linearizzazione. Abbassamento dell’ordine e legge oraria. Sistemi con dissipazione.
Modulo 7. Stabilita` degli equilibri. Stabilita` alla Lyapunov, il metodo delle funzioni di Lyapunov e il metodo spettrale.
Applicazioni e laboratorio numerico.
Modulo 8. Biforcazioni ed applicazioni.
Nozione di biforcazione in una dimensione, biforcazione degli equilibri. Applicazioni.
Modulo 9. Introduzione al calcolo delle variazioni 1-dimensionale.
Funzioni di Lagrange e funzionale d’azione. Differenziale di Gateaux e stazionarizzazione di un funzionale. Equazioni di Euler-Lagrange. Funzione di Jacobi e invarianza per trasformazioni puntuali estese. Problema geodetico e problema meccanico.
Modulo 10. Meccanica Hamiltoniana.
Funzione di Hamilton, equazioni canoniche, campi vettoriali Hamiltoniani e dinamica Hamiltoniana. Trasformazione di Legendre. Parentesi di Poisson, algebra di Poisson e integrali primi. Trasformazioni canoniche. Condizioni di canonicita`, condizione di Lie e funzioni generatrici. Equazione di Hamilton-Jacobi e cenni ai sistemi integrabili. Geometria dello spazio delle fasi: teorema del ritorno e teorema di Liouville.
Bibliografia
Attività | Autore | Titolo | Casa editrice | Anno | ISBN | Note |
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Parte I teoria | G. Benettin | Appunti per il corso di Fisica Matematica | 2017 | |||
Parte I teoria | G. Benettin | Appunti per il corso di Meccanica Analitica | 2018 | |||
Parte I teoria | F. Fasso` | Primo sguardo ai sistemi dinamici | CLEUP | 2016 | ||
Parte I teoria | G. Benettin | Una passeggiata tra i Sistemi Dinamici | 2012 | |||
Parte II Esercitazioni | M.W. Hirsch e S. Smale | Differential equations, dynamical systems, and linear algebra | Academic Press | 1974 | ||
Parte II Esercitazioni | S. Strogatz | Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering | Westview Press | 2010 | ||
Parte II Esercitazioni | F. Fasso` | Primo sguardo ai sistemi dinamici | CLEUP | 2016 | ||
Parte II teoria | M.W. Hirsch e S. Smale | Differential equations, dynamical systems, and linear algebra | Academic Press | 1974 | ||
Parte II teoria | S. Strogatz | Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering | Westview Press | 2010 | ||
Parte II teoria | F. Fasso` | Primo sguardo ai sistemi dinamici | CLEUP | 2016 |
Modalità d'esame
Una prova scritta di esercizi: ritratto di fase in 2D per un sistema dinamico non-lineare; calcolo di traiettorie e stabilità per un sistema in tempo discreto, ritratto di fase in 2D per un sistema dinamico non- lineare; calcolo di traiettorie e stabilità per un sistema in tempo discreto; studio della stabilità di un sistema.
La prova scritta verifica i seguenti obbiettivi formativi:
- aver adeguate capacità di analisi;
- avere adeguate competenze computazionali;
- essere in grado di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale;
- avere la capacità di costruire e sviluppare modelli matematici per le scienze fisiche e naturali
Una prova orale con 2-3 domande di teoria. La prova è obbligatoria
e va sostenuta all’interno della sessione in cui viene superata la prova scritta, pena la decadenza della
validita` della prova scritta.
La prova orale verifica i seguenti obbiettivi formativi:
- essere in grado di produrre e riconoscere dimostrazioni rigorose.