Obiettivi formativi

Il corso si prefigge lo scopo di introdurre ed elaborare i concetti fondamentali della topologia generale e della geometria differenziale delle curve
e delle superficie, in modo rigoroso ma nello stesso tempo concreto
e basato su esempi, allo scopo di sviluppare negli allievi l'intuizione geometrica, la capacita' di astrazione e l'abilità di calcolo analitico, anche in vista delle applicazioni nei corsi successivi.

Programma

1. Elementi di topologia generale: spazi topologici, spazi metrici, topologie metrizzabili e non ed esempi notevoli. Strutture di base: aperti, chiusi, intorni, basi per il filtro degli intorni, chiusura, interno e frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Topologia relativa e sottospazi. Topologia prodotto. Spazi di Hausdorff. Continuita` e topologia quoziente. Spazi compatti: approccio topologico; confronto con la compattezza per successioni. Il Teorema di Heine-Borel. Spazi connessi, spazi connessi per archi, il teorema della dogana.

2. Geometria differenziale delle curve e delle superficie
2.1 Curve - Geometria differenziale delle curve (generalità) nel piano e nello spazio.
Lunghezza d'arco, curvatura, raggio di curvatura e cerchio osculatore. Evoluta ed evolvente. Torsione, formule di Frénet-Serret. Teorema fondamentale delle curve piane con dimostrazione e delle curve nello spazio (cenno).
Esempi fondamentali e significato meccanico.

2.2 Superficie - Generalità. Superfici topologiche, coordinate locali. Superfici regolari e calcolo sulle superfici. Prima e seconda forma fondamentale, teorema di Meusnier, curvature principali, linee di curvatura. Teorema di Eulero.
Curvatura gaussiana. Derivata covariante e sua interpretazione geometrica (Levi-Civita) e trasporto parallelo.
Il Theorema Egregium. Teorema fondamentale della teoria delle superficie: equazioni di compatibilità (Gauss-Codazzi-Mainardi, cenno).
Formula di Levi-Civita.
Geodetiche e loro proprietà intrinseche ed estrinseche. Interpretazione meccanica (cenno alle equazioni di Eulero-Lagrange). Geodetiche sulle superficie di rivoluzione. Teorema di Clairaut. Digressione sugli integrali ellittici e applicazioni alla cartografia.
Cerchi geodetici, lemma di Gauss,
caratterizzazioni intrinseche della curvatura (formula di Bertrand e Puiseux). Formula di Gauss per i triangoli geodetici.
Teorema di Gauss-Bonnet. Applicazione esponenziale. Coordinate normali e polari.
Esempi: Piani, Quadriche, (in particolare, sfera ed ellissoide di rotazione) superficie rigate, sviluppabili, superficie minime, pseudosfera, tori, bottiglia di Klein, nastro di Moebius, superficie di Bézier...
Applicazioni: cenni sulla cartografia e sulle applicazioni fisico--matematiche.

Modalità d'esame

L'esame consiste in una prova scritta.
Il voto conseguito nella prova scritta può essere migliorato attraverso una prova orale facoltativa. Per potersi presentare all'orale è necessario aver superato la prova scritta.


E` prevista una prova parziale sugli argomenti della prima parte del corso (Elementi di topologia generale e Geometria differenziale delle curve). Gli studenti che avranno superato la prova parziale avranno la possibilità di completare la prova scritta una seconda prova parziale al termine delle lezioni.

Oltre alle prove parziali vi saranno un totale di 5 appelli per la prova scritta e orale (2 nella sessione estiva, 2 nella sessione autunnale e 1 nella sessione di settembre)

Materiale e documenti

•   Diario delle Lezioni   (pdf, it, 165 KB, 5/30/13)
•   Informazioni sul corso   (pdf, it, 337 KB, 3/4/13)