Obiettivi formativi

Sistemi Stocastici [ Matematica Applicata ]
AA 2016/2017

Il corso di Sistemi Stocastici si propone per obiettivo l'introduzione ai concetti di base della teoria soggiacente alla rigorosa descrizione matematica di dinamiche temporali di grandezze aleatorie. In particolare i prerequisiti del corso sono quelli di un corso standard di Probabilità per Matematica/Fisica.
Si suppone che i discenti siano a conoscenza delle nozioni elementari del calcolo delle Probabilità, così come nell'assiomatica di Kolmogorov, con particolare riferimento alla conoscenza dei concetti di funzione di densità, ripartizione, probabilità condizionata, aspettazione condizionata, teoria della misura (di base),funzioni caratteristiche di variabili aleatorie, nozioni di convergenza (in misura, q.o., in Probabilità, etc.), teorema del limite centrale e sue (basilari) applicazioni, etc.

Il corso di Sistemi Stocastici mira, in particolare, a fornire i concetti di base di: spazio di probabilità filtrato, martingala, tempo di arresto, teoremi di Doob, teoria delle catene di Markov a tempo discreto e continuo (classificazione degli stati, misure invarianti, limite, teorema ergodico, etc.), nozioni basilari sulla teoria delle code ed introduzione al moto Browniano.

Una parte del corso è dedicata all'implementazione al calcolatore dei concetti operativi soggiacenti la trattazione dei sistemi stocastici del tipo catena di Markov, tanto a tempo discreto che continuo.

Una parte del corso è dedicata all'introduzione ed allo studio operativo, per via di esercitazione al calcolatore, di serie temporali univariate.

E' importante sottolineare come l'insegnamento di Sistemi Stocastici sia organizzato in modo tale che gli studenti possano concretamente completare ed ulteriormente sviluppare le proprie:
° capacità di analisi, sintesi ed astrazione;
° specifiche competenze computazionali ed informatiche;
° abilità di comprensione di testi, anche avanzati, di Matematica in generale e Matematica applicata in particolare;
° capacità di sviluppare modelli matematici per le scienze fisiche e naturali, essendo al contempo in grado di analizzarne i limiti e l'effettiva applicabilità, anche da un punto di vista computazionale;
° competenze atte allo sviluppo di opportuni modelli matematici e statistici per l’economia e per i mercati
finanziari;
° capacità di estrarre informazioni qualitative da dati quantitativi;
° conoscenze di linguaggi di programmazione o software specifici.

Programma

Sistemi Stocastici [ Matematica Applicata ]
AA 2016/2017

Programma del corso

• Aspettazione condizionata ( Materiale didattico dal Cap.1 di [BMP] )
• Definizione e prime proprietà
• Aspettazioni condizionate e leggi condizionate

• Introduzione ai processi Stocastici ( Materiale didattico dal Cap.1 di [BMP] )
• Spazio di probabilità filtrato, filtrazioni
• Processo stocastico adattato (ad una filtrazione)
• Martingale (prima definizione ed esempi: Catene di Markov)
• Teorema di caratterizzazione di Kolomogorov
• Tempi di arresto

• Martingale ( Materiale didattico dal Cap.3 di [BMP]
• Definizione di processo martingala, risp. super, risp. sotto, martingala
• Proprietà fondamentali
• Tempi d'arresto per processi martingala
• Teoremi di convergenza per processi martingala

• Catene di Markov (CM) ( Materiale didattico dal Cap.4 di [Beichelet] , Cap.5 di [Baldi] )
• Matrici di transizione e CM
• Costruzione ed esistenza per CM
• CM omogenee nel tempo e nello spazio
• Spazio e CM canonici
• Classificazione degli stati di una CM ( e relative classi )
• Equazione di Chapman-Kolmogorov
• Stati riccorrenti, risp. Transienti (criteri di classificazione)
• Catene irriducibili e ricorrenti
• Misure invarianti (stazionarie), ergodiche, limite (Teorema ergodico)
• Processi di nascita e morte (tempo discreto)

• CM a tempo continuo ( Materiale didattico dal Cap.5 di [Beichelt] )
• Definizioni basilari
• Equazioni di Chapman-Kolmogorov
• Distribuzioni assolute e stazionarie
• Classificazione degli stati
• Probabilità e tassi di transizione
• Equazioni (differenziali) di Kolmogorov
• Leggi stazionarie
• Processi di nascita e morte (tempo continuo:primi cenni)
• Teoria delle code (tempo continuo: primi cenni)

• Processi di punto, di conteggio e di Poisson ( Materiale didattico dal Cap.3 di [Beichelt] )
• Definizioni basilari
• Processi stocastici di punto (PSP) e di conteggio (PSC)
• PSP marcati
• Stazionarietà, intensità, composizione per PSP e PSC
• Processi di Poisson omogenei (PPO)
• Processi di Poisson non omogenei (PPnO)
• Processi di Poisson misti (PPM)

• Processi di nascita e morte (N&M) ( Materiale didattico dal Cap.5 di [Beichelt] )
• Processi di nascita
• Processi di morte
• Processi di N&M
° Probabilità di stato dipendenti dal tempo
° Probabilità di stato stazionarie
° Processi di N&M non omogenei




Bibliografia

I testi utilizzati per la trattazione degli argomenti enumerati
nel programma del corso sono

[Baldi] P. Baldi, Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill Edizioni (Ed. 01/2007)

[Beichelt] F. Beichelt, Stochastic Processes in Science, Engineering and Finance, Chapman & Hall/CRC, Taylor & Francis group, (Ed. 2006)

[BPM] P. Baldi, L. Matzliak and P. Priouret, Martingales and Markov Chains – Solve Exercises and Elements of Theory, Chapman & Hall/CRC (English edition, 2002)

Ulteriori interessanti testi sono

N. Pintacuda, Catene di Markov, Edizioni ETS (ed. 2000)

Brémaud, P., Markov Chains. Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues, Texts in Applied Mathematics, 31. Springer-Verlag, New York, 1999

Duflo, M., Random Iterative Models, Applications of Mathematics, 34. SpringerVerlag, Berlin, 1997

Durrett, R., Probability: Theory and Examples, Wadsworth and Brooks, Pacific Grove CA, 1991

Grimmett, G. R. and Stirzaker, D. R., Probability and Random Processes. Solved Problems. Second edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1991

Hoel, P. G., Port, S. C. and Stone, C. J., Introduction to Stochastic Processes, Houghton Mifflin, Boston, 1972

Modalità d'esame

Sistemi Stocastici [ Matematica Applicata ]
AA 20016/2017

Il corso si articola in tre parti

1) Teoria dei sistemi stocastici
2) Introduzione all'analisi di serie storiche
3) Esercitazione al calcolatore ( principalmente basate sulla teoria delle catene di Markov, tanto a tempo discreto che continuo )

La parte (2) verrà principalmente svolta in modalità laboratoriale, utilizzando aule informatiche attrezzate con la possibilità, per ogni studente frequentante, di utilizzare un calcolatore al fine di implementare in tempo reale i modelli proposti nel corso della lezione. Tale attività verrà coadiuvata da un tutor che svolgerà i propri compiti per un totale di 24 ore frontali.

La parte (3) verrà insegnata dal Prof. Caliari in modalità laboratoriale, sfruttando aule opportunamente attrezzate a livello informatico.

L’esame è previsto essere suddiviso in

* uno scritto relativo al primo punto
* un progetto presentato in accordo con il programma effettivamente svolto in laboratorio con il prof. Marco Caliari (punto 3)
* esercitazioni svolte relative al punto (2) con presentazione di un progetto

Il programma d'esame ( scritto ) di cui al punto (1)è quello riportato nella sezione Programma.
Il progetto da presentare con il prof. Caliari va con quest'ultimo concordato.

Il progetto da presentare in relazione al punto (2) verrà (dal/la singola/o studentessa/e, scelto nella seguente lista

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@PROGETTI
@ATTENZIONE: questa lista i potrà subire variazioni in relazione al programma effettivamente svolto in laboratorio
@
@SI PREGA di fare riferimento al docente per l'esatta determinazione del novero di progetti all'interno del quale poter @scegliere l'approfondimento di proprio interesse
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1-Confrontare i seguenti metodi di stima/eliminazione di trend
*Studio delle differenze al primo ordine
*Smoothing con filtro a media mobile
*Trasformata di Fourier
*Smoothing esponenziale
*Data fitting con polinomio

2-Ricavare ed implementare in il predittore ad un passo dei modelli
FIR(4)
ARX(3,1)
OE(3,1)
ARMA(2,3)
ARMAX(2,1,2)
Box-Jenkins(nb,nc,nd,nf)

3-Confronto tra Prediction Error Minimization (PEM) e Maximum Likelihood (ML) per l'identificazione dei parametri di un modello (richiede una ricerca autonoma sul metodo ML)

4-Implementazione della k-fold cross-validation, ad esempio in linguaggio Matlab/Octave, ed associato test seguendo quanto fatto nel corso delle relazioni relative

5-Spiegazione estesa di (almeno) uno dei seguenti test
*Shapiro-Wilk
*Kolmogorov-Smirnov
*Lilliefors

La realizzazione pratica del progetto scelto dal singolo studente può essere effettuata utilizzando uno dei seguenti strumenti software: R, Python, Matlab, Gnu Octave, Excel

Il voto finale, espresso in 30esimi, risulterà dalla seguente formula
Voto= (5/6) * T + (1/6) * E + P
dove
T è il voto espresso in 30esimi relativo alla parte di Teoria ( scritto di competenza del prof. Di Persio)
E è il voto espresso in 30esimi relativo alla parte di esercitazioni ( orale di competenza del prof. Caliari)
P è un punteggio all'interno dell'intervallo [0,2]

E' importante sottolineare come gli obiettivi della prova d'esame siano centrati anche sulla valutazione della capacità del singolo studente di:

° svolgere compiti tecnici definiti in ambito modellistico-matematico
° estrarre informazioni qualitative da dati quantitativi con particolare riferimento all'analisi di serie storiche, allo studio ed alla realizzazione di modelli predittivi, allo sviluppo di processi automatici nell'ambito dell'analisi di fenomeni aleatori;
- usare strumenti informatici quali R, Matlab, Gnu Octave, etc., per implementare i modelli analizzati nel corso e/o implementati nelle ore di laboratorio;