Obiettivi formativi

Il corso mira ad introdurre i concetti di base del calcolo della probabilità, con particolare enfasi sulla sua descrizione formale a partire dalla sua assiomatizzazione ad opera di A. Kolmogorov.

Il corso si presuppone l'obiettivo di fornire allo studente le nozioni per poter capire e applicare in maniera rigorosa, e in completa autonomia, il calcolo della probabilità a svariati problemi, sia della fisica che della vita quotidiana.

Non verranno richieste particolari competenze pregresse, lo studente deve aver appreso la metodologia logica-matematica sulla quale è improntato il primo anno della laurea triennale.

Programma

1) Spazi di probabilità: introduzione alle differenti nozioni di probabilità, assiomatizzazione della probabilità, richiami di teoria della misura, spazio campionario ed eventi, prime conseguenze degli assiomi di probabilità, definizione di probabilità condizionata, teorema di Bayes e teorema della probabilità totale, indipendenza di eventi;

2) Variabili aleatorie discrete: definizione e motivazione della nozione di variabile aleatoria, variabili aleatorie discrete, media e varianza di variabili aleatorie e di funzioni di variabili aleatorie, variabili aleatorie notevoli e loro proprietà: Bernoulli, binomiale, Poisson, geometrica e ipergeometrica, leggi congiunte e covarianza;

3) Variabili aleatorie (assolutamente) continue: definizione di variabili aleatorie (assolutamente) continue, media, varianza e momenti di variabili aleatorie continue, variabili aleatorie notevoli e loro proprietà: uniforme, normale, esponenziale, Gamma, Beta, Cauchy e Maxwell-Boltzmann, funzione caratteristica, speranza condizionale e leggi gaussiane multivariate;

4) Convergenza e approssimazione: disuguaglianza di Markov e Chebyshev, legge (debole e forte) dei grandi numeri, convergenza in legge e in probabilità, teorema del limite centrale.

Modalità d'esame

L'esame finale consiste in una prova scritta seguita, in caso di superamento della prova scritta, da un esame orale.