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In questa sezione è possibile reperire le informazioni riguardanti l'organizzazione pratica del corso, lo svolgimento delle attività didattiche, le opportunità formative e i contatti utili durante tutto il percorso di studi, fino al conseguimento del titolo finale.
Piano Didattico
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Laurea magistrale in Mathematics - Immatricolazione dal 2025/2026Il piano didattico è l'elenco degli insegnamenti e delle altre attività formative che devono essere sostenute nel corso della propria carriera universitaria.
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1° Anno
| Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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3 modules to be chosen among the followingLegenda | Tipo Attività Formativa (TAF)
TAF (Tipologia Attività Formativa) Tutti gli insegnamenti e le attività sono classificate in diversi tipi di attività formativa, indicati da una lettera.
Stochastic differential equations (2018/2019)
Codice insegnamento
4S001444
Docente
Coordinatore
Crediti
6
Lingua di erogazione
Inglese
Settore Scientifico Disciplinare (SSD)
MAT/06 - PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Periodo
II semestre dal 4 mar 2019 al 14 giu 2019.
Obiettivi formativi
Questo corso fornirà un'introduzione alla teoria delle equazioni differenziali stocastiche (EDS), basata principalmente sul tipo di rumore del movimento Browniano. Lo scopo di questo corso è quello di introdurre e analizzare modelli di probabilità che catturano le caratteristiche stocastiche del sistema in studio per prevedere il breve e lungo termine effetti che questa casualità avrà sui sistemi presi in considerazione. Lo studio dei modelli di probabilità per processi stocastici a tempo continuo comprende una vasta gamma di strumenti matematici e computazionali. Il corso verrà sviluppato in equilibrio tra aspetti teorici ed applicazioni collegate, le quali saranno principalmente focalizzate si aspetti della finanza matematica, della biologia e della teoria delle popolazione, anche in relazione allo studio delle EDS associate. Gli argomenti includono: costruzione del moto Browniano; martingale in tempo continuo; integrale stocastico; calcolo di Ito e formula di Ito-Doeblin; equazioni differenziali stocastiche; Teorema di Girsanov; teorema di rappresentazione martingala; la formula di Feynman-Kac e i processi di Lévy.
Programma
Programma del corso
I) Prerequisiti: sigma-algebre, filtrazioni, aspettazione condizionata, proprietà martingala, variazione di una funzione, variazione quadratica.
II) Passeggiata casuale: passeggiata casuale, passeggiata casuale riscalata, proprietà martingala.
III) Moto Browniano: definizione di moto Browniano, funzione di un moto Browniano, proprietà martingala, martingale esponenziali, applicazioni in biologia,e finanza, esempi ed esercizi.
IIIa) Breve introduzione ai processi di salto: motivazioni, processi di Poisson, caso a tempo discreto, introduzione al modello di Galton Watson.
III) WIENER INTEGRAL: motivazione, funzioni a scalino, definizione di integrale di Wiener, proprietà, legge associata, martingale, variazione quadratica, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.
IV) INTEGRALI STOCASTICI: motivazione, funzioni a scalino, definizione di integrale stocastico, proprietà, martingala associata, variazione quadratica, varianza, processi di variazione finiti, processi di Itō, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.
V) ITO CALCULUS: motivazione, formula di Itō -Doeblin per il moto Browniano, formula di Itō-Doeblin per funzioni dipendenti dal tempo, formula di Itō-Doeblin per processi di Itō, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.
VI) SDEs: motivazioni, definizione, risultato di esistenza e unicità, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.
VII) CASO MULTI-DIMENSIONALE: moto Browniano multi-dimensionale, correlazione, formula di Itō-Doeblin multi-dimensionale, SDEs collegate, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercitazioni.
VIII) CAMBIO DI PROBABILITÀ: motivazioni, teorema di Cameron-Martin, teorema di Girsanov, rappresentazione del teorema della martingala, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.
IX) FEYNMAN KAC FORMULA: motivazione, formula Feynman Kac, legame tra PDEs e SDEs, metodi Monte-Carlo.
X) PROCESSI DI SALTO: Processi di Lévy, caratterizzazione e proprietà.
| Autore | Titolo | Casa editrice | Anno | ISBN | Note |
|---|---|---|---|---|---|
| I. Karatzas and S. Shreve | Brownian motion and stochastic calculus | ||||
| D. Revuz and M. Yor | Continuous martingales and Brownian motion | ||||
| M.Yor et al | Exponential Functionals of Brownian Motion and related Processes | Springer | 2010 | ||
| D. Williams | Probability with martingales | ||||
| B. Øksendal | Stochastic Differential Equations | ||||
| N. Ikeda and S. Watanabe | Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes | ||||
| P. Protter | Stochastic integration and differential equations |
Modalità d'esame
Esame orale con esercizi scritti:
l'esame è basato su domande a risposta aperta e sulla discussione di esercizi da svolgere per iscritto nel corso della prova. Le domande, aperte ed esercizi, mirano alla verifica delle conoscenze relative agli argomenti sviluppati nel programma del corso, nonché alla risoluzione di problemi concreti propri della teoria di base dei processi stocastici, e delle equazioni differenziali stocastiche.
