Codice insegnamento

4S02482

Docente

Marco Minozzo

Coordinatore

Marco Minozzo

Crediti

9

Lingua di erogazione

Italiano

Settore Scientifico Disciplinare (SSD)

SECS-S/01 - STATISTICA

Periodo

Primo semestre LM dal 30 set 2024 al 23 dic 2024.

Corsi Singoli

Autorizzato

Orario Lezioni Moodle Seminari 0

Obiettivi di apprendimento

Il corso si rivolge a studenti che abbiano già seguito almeno un corso introduttivo di teoria della probabilità. Vengono assunte per note tutte le nozioni usualmente impartite in un primo corso universitario di probabilità e statistica. Si assume in particolare che siano note le principali distribuzioni univariate, sia discrete sia continue, nonché i principali teoremi limite quali la legge (debole) dei grandi numeri ed il teorema del limite centrale. Il corso si propone di integrare la preparazione probabilistica già acquisita introducendo alcuni dei concetti propedeutici ad un uso avanzato della teoria della probabilità e dei processi stocastici a parametro discreto e a parametro continuo, nonché degli integrali stocastici.

Prerequisiti e nozioni di base

Per seguire con profitto il corso non sono richieste particolari conoscenze preliminari di probabilità. Si assumono per date tutte le nozioni usualmente impartite in un primo corso universitario di probabilità e statistica. Si assume in particolare che siano note le principali distribuzioni univariate, sia discrete che continue, nonché i principali teoremi limite quali la legge (debole) dei grandi numeri ed il teorema del limite centrale.

Programma

Spazi di probabilità e assiomi di Kolmogorov
• Spazi di probabilità: sigma-algebre, assiomi di Kolmogorov, alberi degli eventi.
• Probabilità condizionata: definizione elementare di probabilità condizionata di un evento rispetto ad un altro evento, legge del prodotto, teorema delle probabilità totali, teorema di Bayes, indipendenza tra eventi.
Variabili casuali
• Variabili casuali: misurabilità, funzione di ripartizione, variabili casuali discrete, assolutamente continue e continue singolari.
• Trasformazioni di variabili casuali: distribuzione log-normale, trasformazione integrale di probabilità.
Valore atteso
• Teoria dell’integrazione: integrale di Lebesgue (generalizzato), valore atteso.
• Valore atteso di una funzione di una variabile casuale: risultati principali, varianza.
• Disuguaglianze notevoli: disuguaglianza di Markov, di Chebyshev e di Jensen.
• Momenti: momenti assoluti e centrali, funzione generatrice dei momenti.
Variabili casuali multidimensionali
• Variabili casuali multidimensionali: funzione di ripartizione congiunta, variabili casuali multidimensionali discrete e continue.
• Distribuzioni condizionate: funzione di ripartizione condizionata.
• Indipendenza tra variabili casuali: proprietà.
Funzioni di variabili casuali multidimensionali
• Funzioni di variabili casuali multidimensionali: valore atteso di funzioni di variabili casuali, valore atteso di una combinazione lineare, covarianza, coefficiente di correlazione di Bravais, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, varianza di una combinazione lineare.
• Valore atteso condizionato: valore atteso condizionato rispetto ad un'altra variabile casuale, varianza condizionata rispetto ad un'altra variabile casuale.
• Funzione generatrice dei momenti congiunta: momenti misti assoluti e centrali, funzione generatrice dei momenti congiunta.
• Distribuzione normale bidimensionale: densità congiunta, funzione generatrice dei momenti congiunta.
Distribuzione di funzioni di variabili casuali multidimensionali
• Metodo della funzione di ripartizione: esempi notevoli.
• Distribuzione del minimo e del massimo: esempi notevoli.
• Distribuzione della somma e della differenza di due variabili casuali: formula di convoluzione.
• Distribuzione del prodotto e del quoziente: esempi notevoli.
• Distribuzione della somma di un numero casuale di variabili casuali: esempi notevoli.
• Metodo della funzione generatrice dei momenti: somma di variabili casuali indipendenti, somma di variabili casuali normali.
• Metodo della trasformazione per variabili casuali continue (cenni).
Convergenza di successioni di variabili casuali e principali teoremi limite
• Principali modi di convergenza: convergenza quasi certa, in probabilità, in distribuzione, in media quadratica.
• Legge debole dei grandi numeri: teorema di Chebyshev e di Bernoulli.
• Teorema del limite centrale: dimostrazione con la funzione generatrice dei momenti dell’analogo del teorema di Lindeberg-Lèvy, distribuzioni limite e distribuzioni asintotiche, approssimazione della distribuzione binomiale alla normale.
• Legge forte dei grandi numeri: lemma di Borel, legge forte dei grandi numeri di Borel.
• Statistiche d’ordine: definizioni ed esempi.
• Funzione di ripartizione empirica: distribuzione della funzione di ripartizione empirica, enunciato del teorema di Glivenko-Cantelli.
Valore atteso condizionato rispetto ad una partizione e rispetto ad una sigma-algebra
• Valore atteso condizionato rispetto ad un evento: proprietà.
• Probabilità condizionata di un evento rispetto ad una partizione: algebra indotta da una partizione, ordinamento tra partizioni, algebre indipendenti, probabilità condizionata dell’unione di due eventi, valore atteso della probabilità condizionata.
• Probabilità condizionata di un evento rispetto ad una variabile casuale: partizione indotta da una variabile casuale.
• Valore atteso condizionato di una variabile casuale rispetto ad una partizione: valore atteso condizionato di una combinazione lineare, valore atteso del valore atteso condizionato, misurabilità rispetto ad una partizione.
• Valore atteso condizionato rispetto ad una sigma-algebra: analogo con il valore atteso condizionato rispetto ad una partizione.
Processi stocastici a tempo discreto
• Filtrazioni: filtrazioni indotte.
• Processi stocastici: processi stocastici a tempo discreto, processi stocastici a tempo continuo, processi stazionari in senso forte e debole (cenni), processi gaussiani (cenni), processi a incrementi indipendenti (cenni).
• Processi markoviani: definizioni, catene di Markov (cenni).
Martingale a tempo discreto
• Martingale rispetto a partizioni: tempi di arresto, impossibilità di una strategia di arresto vincente.
• Trasformate di martingala: differenza di martingala, sequenze predicibili, trasformata di martingala, impossibilità di una strategia di scommesse vincente.
• Martingale rispetto a sigma-algebre: definizioni.
Processi stocastici a tempo continuo
• Processi stocastici a tempo continuo: filtrazioni, processi adattati ad una filtrazione; martingale, processi markoviani.
• Moto browniano: definizione di moto browniano (processo di Wiener), proprietà di martingala, non derivabilità e variazione infinita delle traiettorie (cenni), variazione quadratica, proprietà di Markov.
Integrale stocastico
• Integrale stocastico di Itô: integrale di Itô di un processo semplice rispetto al moto browniano, proprietà di martingala, proprietà di isometria, variazione quadratica.
• Integrale di Itô di un processo generico: proprietà.
• Formula di Itô: analogo a tempo discreto della formula di Itô per trasformate di martingala, formula di Itô per il moto browniano.
• Cambio di misura: derivata di Radon-Nikodým nel caso di uno spazio campionario finito ed in generale, processo “derivata di Radon-Nikodým” nel caso di uno spazio campionario finito ed in generale.

Bibliografia

Modalità didattiche

In aggiunta ai libri di testo, materiale didattico integrativo, appunti, esercizi e compiti passati con soluzioni saranno distribuiti durante il corso e resi disponibili sulla piattaforma E-learning di Ateneo. Durante lo svolgimento delle lezioni sarà indicato, per ogni specifico argomento, quali parti studiare dei libri di testo e quali altri testi consultare. Gli studenti non frequentanti possono rivolgersi al docente per avere le indicazioni necessarie. Si consiglia di seguire le lezioni e le esercitazioni e di prendere regolarmente gli appunti.
Il carico totale del corso è di 54 ore di lezione (pari a 9 CFU). Fanno parte integrante del corso una serie di esercitazioni da svolgersi individualmente. Tutte le lezioni e le esercitazioni sono indispensabili per una adeguata comprensione degli argomenti del corso. In aggiunta alla normale attività didattica, sono previste anche delle attività di tutorato. Informazioni più dettagliate saranno fornite a tempo debito.
Le lezioni verranno erogate in presenza e videoregistrate (ma non trasmesse in diretta). Le videoregistrazioni saranno rese disponibili nei giorni immediatamente seguenti.

Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova di esame consiste in una prova scritta (di circa 2 ore e 30 minuti) seguita da una prova orale (di circa 30 minuti). Per la prova scritta, potrà essere utilizzato lo strumento QUIZ di Moodle. Per la prova si potrà usare solamente una calcolatrice e non sarà consentito utilizzare nessun altro materiale (libri, appunti ecc.). Saranno ammessi alla prova orale soltanto gli studenti che avranno riportato un voto sufficiente nella prova scritta. Per sostenere le prove lo studente deve presentarsi munito di tessera universitaria, ovvero di libretto universitario, o di idoneo documento di riconoscimento.
Si ricorda infine che, per quanto riguarda le modalità di esame, non ci sono differenze secondo il numero di lezioni frequentate.

Lingua dell'esame

Italiano