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Obiettivi formativi

Familiarizzare coi le principali tecniche e metodologie di analisi dei problemi per lo sviluppo di algoritmi efficienti
(ricorsione/induzione, programmazione dinamica).
Presentazione dei principali approcci per la gestione di problemi di ottimizzazione combinatorica NP-difficili (algoritmi approssimati, algoritmi ad enumerazione implicita e branch & bounds, fixed parameter tractability).


Prerequisiti Consigliati per Seguire con Profitto il Corso
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Per partecipare al corso in modo produttivo, lo studente e' importante si sia gia' posto questioni di efficienza relative a problemi affrontati o programmi scritti in un vissuto precedente, e sentirsi motivato al progetto di soluzioni efficienti.

PROGRAMMAZIONE: c/c++ e' il linguaggio di riferimento.

ALGORITMI: Lo studente dovrebbe avere ben chiari i seguenti concetti:
1. problemi e formulazioni, codifiche e istanze
2. tempo di calcolo e uso di memoria come funzione della lunghezza della codifica dell'istanza, analisi caso peggiore/caso medio/amortizzata, crescita e notazione asintotica
3. Structure dati base quali liste, stack, code, alberi, heap.
4. Ordinamento
5. Grafi: rappresentazione ed i seguenti algoritmi fondamentali
5.1 visite di grafi: BFS, DFS.
5.2 Componenti connesse e ordinamento topologico.
5.3 Alberi minimi di copertura. Algoritmi di Kruskal e di Prim.
5.4 Single-source shortest path: algoritmi di Dijkstra e di Bellman-Ford.
5.5 All-pairs shortest path: algoritmi di Floyd-Warshall e di Johnson.
5.6 Massimo flusso: algoritmo di Ford-Fulkerson.

Programma

Richiamo dei principali concetti inerenti ai problemi computazionali: descrizione, istanze, codifica, modelli precisi e modelli approssimati. Problemi computazioni di ottimizzazione. Esempi di problemi computazionali.
Richiamo dei principali concetti inerenti agli algoritmi: risorse computazionali, codifica dell'input, dimensione dell'input, definizione di tempo computazionale. Analisi caso peggiore e caso medio. Tempo di calcolo e ordini di grandezza: possibili insidie.
Tempi di calcolo e miglioramenti hardware: relazioni principali. Algoritmi efficienti e problemi trattabili.

Ricorsione ed induzione
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esempi dell'approccio induttivo nella soluzione di problemi.

Paradigma divide et impera
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Richiamo struttura ed analisi complessità. Esempi di applicazione: ordinamento,
prodotto tra due numeri, Prodotto fra due matrici.

Paradigma programmazione dinamica
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Una tecnica da principio controintuitiva ma che puo' essere fatta propria ed e' importante per efficacia e pervasivita'.
La vedremo dapprima come un'ulteriore dialetto della ricorsione
piu' qualche trucco (memoization) e cercheremo poi di concepire
direttamente soluzioni di programmazione dinamica.
Vedremo la programmazione dinamica in svariati contesti
e su strutture che le sono particolarmente congegnali
per inquadrarne svariati aspetti limite.

Paradigma greedy
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Alcuni esempi.

Tecnica branch & bound
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Approccio ricorsivo ed enumerazione implicita.
Partizionamento in sottoproblemi e branching.
Lower bounds ed upper bounds.


Algoritmi di approssimazione
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Algorimo r-approssimante. Problema r-approssimabile.
Studio dell'approssimabilità del problema Min Vertex Cover:
algoritmo greedy e 2-approssimazioni.
Approssimazioni per il Set Cover e varianti.
Christofides per il TSP metrico.
Un FPTAS per lo zaino.

Modalità d'esame

Parte dell'esame complessivo del corso qualifying in Algoritmi e Complessità (altro modulo: Complessità).
La prova di Algoritmi dura 5 ore e si svolge in aula computer:
Si richiede di progettare e codificare in c o c++ degli algoritmi
efficaci per 3 problemi assegnati.