Codice insegnamento

4S00247

Docente

Coordinatore

Crediti

6

Lingua di erogazione

Italiano

Settore Scientifico Disciplinare (SSD)

MAT/03 - GEOMETRIA

Periodo

Primo semestre dal 3 ott 2022 al 27 gen 2023.

Orario Lezioni Moodle Seminari 0

Obiettivi di apprendimento

L'insegnamento si propone di fornire allo studente i concetti fondamentali della topologia generale e le basi della geometria differenziale delle curve e delle superfici immerse in uno spazio euclideo. Al termine dell'insegnamento lo studente conoscerà le principali proprietà degli spazi topologici. Inoltre sarà in grado di riconoscere e calcolare le caratteristiche geometriche principali di curve e superfici immerse (triedo di riferimento, curvature, forme quadratiche fondamentali...). Sarà inoltre in grado di produrre argomentazioni e dimostrazioni rigorose su questi temi e sarà in grado di leggere articoli e testi di Topologia e Geometria Differenziale.

Prerequisiti e nozioni di base

Algebra lineare, geometria affine e proiettiva. Calcolo differenziale in una o più variabili.

Programma

-Topologia generale.
Spazio topologico, definizione per aperti e per chiusi. Esempi: topologia banale, discreta, cofinita. Finezza di una topologia. Basi di aperti. Intorni. Sistema fondamentale di intorni. Chiusura, interno. Applicazioni continue. Omeomorfismi. Punti di frontiera, isolati, aderenza e accumulazione. Insiemi densi. Sottospazi, topologia indotta. Prodotto di spazi e topologia prodotto.
Assiomi di separazione. Spazi di Hausdorff, Regolari e Normali.
Assiomi di numerabilità: primo assioma e secondo assioma.
Quozienti e topologia quoziente. Applicazioni aperte e chiuse.
Esempi di spazi topologici: sfere, spazio proiettivo, nastro di Moebius....
Proprietà di compattezza. Teorema di Heine-Borel. Teorema di Tychonoff. Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Connessione. Locale connessione. Connessione per archi. Esempi e controesempi: curva del topologo. Connesso e localmente connesso per archi implica connesso per archi. Semplice connessione, omotopia e gruppo fondamentale (cenni).
-Geometria differenziale delle curve nel piano e nello spazio.
Curve differenziabili nel piano:
Esempi notevoli. Punti regolari e singolari. Immersioni locali, immersioni e immersioni regolari. Lunghezza di un arco. Ascissa curvilinea. Punti di flesso. Curvatura e raggio di curvatura. Centro di curvatura. Formule di Frenet-Serret.
Curve differenziabili nello spazio:
Retta tangente. Piano normale. Flessi. Piano osculatore. Punti stazionari. Curvature. Triedo principale. Formule di Frenet-Serret. Torsione. Teorema Fondamentale della teoria locale delle curve.
-Geometria differenziale delle superfici nello spazio.
Definizione. Atlante differenziabile, atlante orientato, piano tangente, versore normale.
Prima forma quadratica fondamentale: metrica e area. Curvatura tangenziale e curvatura normale di una curva su una superficie. Curvature, sezioni normali, Teorema di Meusnier. Curvature principali, curvatura Gaussiana e curvatura media: Teorema Egregium. Geodetiche.

Bibliografia

Modalità didattiche

Lezioni frontali e sessioni di esercitazione.
Saranno inoltre previste 14 ore di tutorato che si concentrerà in particolare sulla risoluzione di esercizi.
Saranno specificamente tutelati gli studenti in situazioni di limitazione agli spostamenti per effetto di disposizioni nazionali di contrasto al COVID o in situazioni particolari di fragilità. In questi casi gli studenti sono invitati a contattare direttamente il docente per organizzare le modalità di recupero più opportune.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova scritta (150 minuti).
L'esame consiste nella risoluzione di 4 esercizi (2 di topologia, 1 di teoria delle curve e 1 di teoria delle superfici) più due domande di teoria (1 su definizioni/concetti generali e 1 con dimostrazione di un teorema presentato a lezione).
Prova orale (facoltativa)
Prevede una discussione con il docente sulle definizioni e dimostrazioni discusse durante le lezioni.

Criteri di valutazione

Per superare l'esame gli studenti devono dimostrare di:
- conoscere e aver compreso i concetti fondamentali della topologia generale
- conoscere e aver compreso i concetti fondamentali della teoria locale delle curve e delle superfici
- avere un'adeguata capacità di analisi e sintesi e di astrazione
- sapere applicare queste conoscenze per risolvere problemi ed esercizi, sapendo argomentare i loro ragionamenti con rigore matematico.

Criteri di composizione del voto finale

Prova scritta voto massimo 30/30. La prova orale, se superata, può aggiungere fino a 5 punti.

Lingua dell'esame

Italiano