Codice insegnamento

4S00244

Crediti

6

Coordinatore

Non ancora assegnato

Lingua di erogazione

Italiano

Settore Scientifico Disciplinare (SSD)

MAT/05 - ANALISI MATEMATICA

Corsi Singoli

Autorizzato

Moodle Seminari 0

L'insegnamento è organizzato come segue:

Obiettivi di apprendimento

L’insegnamento si propone di introdurre la teoria e alcune applicazioni dei sistemi dinamici, che descrivono l’evoluzione temporale di variabili quantitative. Al termine del corso lo studente sarà in grado di investigare la stabilità e la natura di un equilibrio, l’analisi qualitativa di un sistema di equazioni differenziali ordinarie, il ritratto in fase di un sistema dinamico dipendente da parametri in dimensione 1 e 2 e i sistemi Hamiltoniani in dimensione finita. Lo studente sarà altresì in grado di analizzare le applicazioni dei sistemi dinamici alla dinamica delle popolazioni, alla meccanica e ai modelli di traffico. Infine, sarà in grado di produrre argomentazioni e dimostrazioni rigorose su questi temi e sarà in grado di leggere articoli e testi di sistemi dinamici e applicazioni.

Programma

Prima parte (comune)
1. Complementi sulle equazioni differenziali ordinarie
Teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie: esistenza e unicità di soluzioni; soluzioni massimali e globali; lemma di Gronwall; dipendenza continua dai dati iniziali.
2. Campi vettoriali ed equazioni differenziali ordinarie
Campi vettoriali: spazio delle fasi, curve integrali, orbite, equilibri, ritratto in fase. Esempi di ritratti in fase in dimensione uno. Sistemi di equazioni differenziali del second'ordine: analisi nello spazio delle fasi; equilibri.
3. Sistemi lineari
Linearizzazione di un campo vettoriale attorno ad un equilibrio. Classificazione dei sistemi lineari reali 2x2 con matrice diagonalizzabile sui complessi. (Se il tempo lo permette, cenni al caso nilpotente). Sistemi lineari reali in dimensione n: decomposizione in sottospazi invarianti; i sottospazi stabile, instabile e centrale. Confronto tra un campo vettoriale e la sua linearizzazione attorno ad un equilibrio iperbolico.
4. Flusso di un campo vettoriale
Flusso di un campo vettoriale. Cambi di coordinate: campi vettoriali coniugati; formula del push-forward e del pull-back. Equazioni differenziali non autonome: cambi di coordinate dipendenti dal tempo; riscalamenti di campi vettoriali e riparametrizzazioni in tempo. Teorema di rettificazione locale.
5. Integrali primi
Insiemi invarianti; integrali primi; derivata di Lie. Foliazioni invarianti e abbassamento dell’ordine. Integrali primi ed equilibri attrattivi.
6. Stabilità degli equilibri
Stabilità alla Lyapunov; il metodo delle funzioni di Lyapunov; il metodo spettrale. Applicazioni ed esempi.
7. Equazione di Newton 1-dimensionale
Ritratto in fase di equazioni di Newton in dimensione uno, nel caso conservativo. Linearizzazione. Abbassamento dell’ordine e legge oraria. Sistemi con dissipazione.
Seconda parte (per chi sostiene l'esame da 9 CFU)
8. Biforcazioni
Nozione di biforcazione; esempi di biforcazioni dagli equilibri in dimensione uno; applicazioni.
9. Introduzione al calcolo delle variazioni 1-dimensionale
Il metodo indiretto per funzionali integrali in dimensione 1. Condizioni necessarie per la minimalità: le equazioni di Eulero-Lagrange. Integrale primo di Jacobi e leggi di conservazione. Geodetiche su una superficie.
10. Sistemi Hamiltoniani
Campi vettoriali Hamiltoniani. Trasformazione di Legendre. Parentesi di Poisson. Trasformazioni canoniche. Condizioni di canonicità, condizione di Lie e funzioni generatrici. Equazione di Hamilton-Jacobi e cenni ai sistemi integrabili. Geometria dello spazio delle fasi: teoremi di Liouville e del ritorno.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Per chi sostiene l'esame da 6 CFU, l'esame consiste in una prova scritta, della durata di tre ore. La prova scritta contiene esercizi e domande sugli argomenti trattati nel corso.
Per chi sostiene l'esame da 9 CFU, l'esame consiste della già citata prova scritta e di una prova orale, centrata sugli argomenti trattati nella seconda parte del corso - anche se, nello sviluppo della prova, si potrà o talora si dovrà far riferimento ad argomenti trattati nella prima parte del corso. Non è escluso che la prova orale possa a sua volta contenere esercizi.
La prova orale è preclusa a chi sostiene l'esame da 6 CFU e obbligatoria per chi sostiene l'esame da 9 CFU. Essa va sostenuta nella stessa sessione d'esame in cui viene superata la prova scritta.