Sistemi Stocastici [ Matematica Applicata ]
AA 2015/2016

Il corso di Sistemi Stocastici si propone per obiettivo l'introduzione ai concetti di base della teoria soggiacente alla rigorosa descrizione matematica di dinamiche temporali di grandezze aleatorie. In particolare i prerequisiti del corso sono quelli di un corso standard di Probabilità per Matematica/Fisica.
Si suppone che i discenti siano a conoscenza delle nozioni elementari del calcolo delle Probabilità, così come nell'assiomatica di Kolmogorov, con particolare riferimento alla conoscenza dei concetti di funzione di densità, ripartizione, probabilità condizionata, aspettazione condizionata, teoria della misura (di base),funzioni caratteristiche di variabili aleatorie, etc.

Il corso di Sistemi Stocastici mira, in particolare, a fornire i concetti di base di: spazio di probabilità filtrato, martingala, tempo di arresto, teoremi di Doob, teoria delle catene di Markov a tempo discreto e continuo (classificazione degli stati, misure invarianti, limite, teorema ergodico, etc.), nozioni basilari sulla teoria delle code ed introduzione al moto Browniano.

Una parte del corso è dedicata all'implementazione al calcolatore dei concetti operativi soggiacenti la trattazione dei sistemi stocastici del tipo catena di Markov, tanto a tempo discreto che continuo.

Una parte del corso è dedicata all'introduzione ed allo studio operativo, per via di esercitazione al calcolatore, di serie temporali univariate.

Sistemi Stocastici [ Matematica Applicata ]
AA 2015/2016

Programma del corso

• Aspettazione condizionata ( Materiale didattico dal Cap.1 di [BMP] )
• Definizione e prime proprietà
• Aspettazioni condizionate e leggi condizionate

• Introduzione ai processi Stocastici ( Materiale didattico dal Cap.1 di [BMP] )
• Spazio di probabilità filtrato, filtrazioni
• Processo stocastico adattato (ad una filtrazione)
• Martingale (prima definizione ed esempi: Catene di Markov)
• Teorema di caratterizzazione di Kolomogorov
• Tempi di arresto

• Martingale ( Materiale didattico dal Cap.3 di [BMP]
• Definizione di processo martingala, risp. super, risp. sotto, martingala
• Proprietà fondamentali
• Tempi d'arresto per processi martingala
• Teoremi di convergenza per processi martingala

• Catene di Markov (CM) ( Materiale didattico dal Cap.4 di [Beichelet] , Cap.5 di [Baldi] )
• Matrici di transizione e CM
• Costruzione ed esistenza per CM
• CM omogenee nel tempo e nello spazio
• Spazio e CM canonici
• Classificazione degli stati di una CM ( e relative classi )
• Equazione di Chapman-Kolmogorov
• Stati riccorrenti, risp. Transienti (criteri di classificazione)
• Catene irriducibili e ricorrenti
• Misure invarianti (stazionarie), ergodiche, limite (Teorema ergodico)
• Processi di nascita e morte (tempo discreto)

• CM a tempo continuo ( Materiale didattico dal Cap.5 di [Beichelt] )
• Definizioni basilari
• Equazioni di Chapman-Kolmogorov
• Distribuzioni assolute e stazionarie
• Classificazione degli stati
• Probabilità e tassi di transizione
• Equazioni (differenziali) di Kolmogorov
• Leggi stazionarie
• Processi di nascita e morte (tempo continuo:primi cenni)
• Teoria delle code (tempo continuo: primi cenni)

• Processi di punto, di conteggio e di Poisson ( Materiale didattico dal Cap.3 di [Beichelt] )
• Definizioni basilari
• Processi stocastici di punto (PSP) e di conteggio (PSC)
• PSP marcati
• Stazionarietà, intensità, composizione per PSP e PSC
• Processi di Poisson omogenei (PPO)
• Processi di Poisson non omogenei (PPnO)
• Processi di Poisson misti (PPM)

• Processi di nascita e morte (N&M) ( Materiale didattico dal Cap.5 di [Beichelt] )
• Processi di nascita
• Processi di morte
• Processi di N&M
° Probabilità di stato dipendenti dal tempo
° Probabilità di stato stazionarie
° Processi di N&M non omogenei

• Introduzione alla teoria delle code ( Materiale didattico dal Cap.5 di [Beichelt] )
• Concetti basilari
• Classificazione A/B/s/m di Kendall
• Esempi esplicitamente trattati:
° M/M/+\infty
° M/M/s/0
# risultati parziali per M/M/+\infty e M/G/+\infty
° M/M/s/+\infty
• Formula di Erlang (Erlang's loss formula)
• Formula di Little

• Moto Browniano (MB) ( Materiale didattico dal Cap.7 di [Beichelt] )
• Definzioni e proprietà basilari
• Trasformazioni del MB (1-dimensionale)
° martingala esponenziale
° martingala varianza

Bibliografia

I testi utilizzati per la trattazione degli argomenti enumerati
nel programma del corso sono

[Baldi] P. Baldi, Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill Edizioni (Ed. 01/2007)

[Beichelt] F. Beichelt, Stochastic Processes in Science, Engineering and Finance, Chapman & Hall/CRC, Taylor & Francis group, (Ed. 2006)

[BPM] P. Baldi, L. Matzliak and P. Priouret, Martingales and Markov Chains – Solve Exercises and Elements of Theory, Chapman & Hall/CRC (English edition, 2002)

Ulteriori interessanti testi sono

N. Pintacuda, Catene di Markov, Edizioni ETS (ed. 2000)

Brémaud, P., Markov Chains. Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues, Texts in Applied Mathematics, 31. Springer-Verlag, New York, 1999

Duflo, M., Random Iterative Models, Applications of Mathematics, 34. SpringerVerlag, Berlin, 1997

Durrett, R., Probability: Theory and Examples, Wadsworth and Brooks, Pacific Grove CA, 1991

Grimmett, G. R. and Stirzaker, D. R., Probability and Random Processes. Solved Problems. Second edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1991

Hoel, P. G., Port, S. C. and Stone, C. J., Introduction to Stochastic Processes, Houghton Mifflin, Boston, 1972

Il corso si articola in tre parti

1) Teoria dei sistemi stocastici
2) Introduzione all'analisi di serie storiche
3) Esercitazione al calcolatore ( principalmente basate sulla teoria delle catene di Markov, tanto a tempo discreto che continuo )

L’esame è previsto essere suddiviso in

* uno scritto relativo al primo punto
* un progetto presentato in accordo con il programma effettivamente svolto in laboratorio con il prof. Marco Caliari (punto 3)
* esercitazioni svolte relative al punto (2) con presentazione di un progetto

Il programma d'esame ( scritto ) di cui al punto (1)è quello riportato nella sezione Programma.
Il progetto da presentare con il prof. Caliari va con quest'ultimo concordato.

Il progetto da presentare in relazione al punto (2) verrà (dal/la singola/o studentessa/e, scelto nella seguente lista

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PROGETTI
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1-Confrontare i seguenti metodi di stima/eliminazione di trend
*Studio delle differenze al primo ordine
*Smoothing con filtro a media mobile
*Trasformata di Fourier
*Smoothing esponenziale
*Data fitting con polinomio

2-Ricavare ed implementare in il predittore ad un passo dei modelli
FIR(4)
ARX(3,1)
OE(3,1)
ARMA(2,3)
ARMAX(2,1,2)
Box-Jenkins(nb,nc,nd,nf)

3-Confronto tra Prediction Error Minimization (PEM) e Maximum Likelihood (ML) per l'identificazione dei parametri di un modello (richiede una ricerca autonoma sul metodo ML)

4-Implementazione della k-fold cross-validation, ad esempio in linguaggio Matlab/Octave, ed associato test seguendo quanto fatto nel corso delle relazioni relative

5-Spiegazione estesa di (almeno) uno dei seguenti test
*Shapiro-Wilk
*Kolmogorov-Smirnov
*Lilliefors