Obiettivi formativi

Il corso si rivolge a studenti che abbiano già seguito almeno un corso introduttivo di teoria della probabilità.
Vengono assunte per note tutte le nozioni usualmente impartite in un primo corso universitario di probabilità e statistica.
Si assume in particolare che siano note le principali distribuzioni univariate, sia discrete che continue, nonché i principali teoremi limite quali la legge (debole) dei grandi numeri ed il teorema del limite centrale.
Il corso si propone di integrare la preparazione probabilistica già acquisita introducendo alcuni dei concetti propedeutici ad un uso avanzato della teoria della probabilità e dei processi stocastici a parametro discreto e a parametro continuo, nonché degli integrali stocastici.

Programma

Spazi di probabilità e assiomi di Kolmogorov

Spazi di probabilità: sigma-algebre, assiomi di Kolmogorov, alberi degli eventi.
Probabilità condizionata: definizione elementare di probabilità condizionata di un evento rispetto ad un altro evento, legge del prodotto, teorema delle probabilità totali, teorema di Bayes, indipendenza tra eventi.

Variabili aleatorie

Variabili aleatorie: misurabilità, funzione di ripartizione, variabili aleatorie discrete, assolutamente continue e continue singolari.
Trasformazioni di variabili aleatorie: distribuzione log-normale, trasformazione integrale di probabilità.

Valore atteso

Teoria dell’integrazione: integrale di Lebesgue (generalizzato), valore atteso.
Valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria: risultati principali, varianza.
Disuguaglianze notevoli: disuguaglianza di Markov, di Tchebycheff e di Jensen.
Momenti: momenti assoluti e centrali, funzione generatrice dei momenti.

Variabili aleatorie multidimensionali

Variabili aleatorie multidimensionali: funzione di ripartizione congiunta, variabili aleatorie multidimensionali discrete e continue.
Distribuzioni condizionate: funzione di ripartizione condizionata.
Indipendenza tra variabili aleatorie: proprietà.

Funzioni di variabili aleatorie multidimensionali

Funzioni di variabili aleatorie multidimensionali: valore atteso di funzioni di variabili aleatorie, valore atteso di una combinazione lineare, covarianza, coefficiente di correlazione di Bravais, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, varianza di una combinazione lineare.
Valore atteso condizionato: valore atteso condizionato rispetto ad un'altra variabile aleatoria, varianza condizionata rispetto ad un'altra variabile aleatoria.
Funzione generatrice dei momenti congiunta: momenti misti assoluti e centrali, funzione generatrice dei momenti congiunta.
Distribuzione normale bidimensionale: densità congiunta, funzione generatrice dei momenti congiunta.

Distribuzione di funzioni di variabili aleatorie multidimensionali

Metodo della funzione di ripartizione: esempi notevoli.
Distribuzione del minimo e del massimo: esempi notevoli.
Distribuzione della somma e della differenza di due variabili aleatorie: formula di convoluzione.
Distribuzione del prodotto e del quoziente: esempi notevoli.
Distribuzione della somma di un numero aleatorio di variabili aleatorie: esempi notevoli.
Metodo della funzione generatrice dei momenti: somma di variabili aleatorie indipendenti, somma di variabili aleatorie normali.
Metodo della trasformazione per variabili aleatorie continue (cenni).

Convergenza di successioni di variabili aleatorie e principali teoremi limite

Principali modi di convergenza: convergenza quasi certa, in probabilità, in distribuzione, in media quadratica.
Legge debole dei grandi numeri: teorema di Tchebycheff e di Bernoulli.
Teorema del limite centrale: dimostrazione con la funzione generatrice dei momenti dell’analogo del teorema di Lindeberg-Lèvy, distribuzioni limite e distribuzioni asintotiche, approssimazione della distribuzione binomiale alla normale.
Legge forte dei grandi numeri: lemma di Borel, legge forte dei grandi numeri di Borel.
Statistiche d’ordine: definizioni ed esempi.
Funzione di ripartizione empirica: distribuzione della funzione di ripartizione empirica, enunciato del teorema di Glivenko-Cantelli.

Valore atteso condizionato rispetto ad una partizione e rispetto ad una sigma-algebra

Valore atteso condizionato rispetto ad un evento: proprietà.
Probabilità condizionata di un evento rispetto ad una partizione: algebra indotta da una partizione, ordinamento tra partizioni, algebre indipendenti, probabilità condizionata dell’unione di due eventi, valore atteso della probabilità condizionata.
Probabilità condizionata di un evento rispetto ad una variabile aleatoria: partizione indotta da una variabile aleatoria.
Valore atteso condizionato di una variabile aleatoria rispetto ad una partizione: valore atteso condizionato di una combinazione lineare, valore atteso del valore atteso condizionato, misurabilità rispetto ad una partizione.
Valore atteso condizionato rispetto ad una sigma-algebra: analogo con il valore atteso condizionato rispetto ad una partizione.

Processi stocastici a tempo discreto

Filtrazioni: filtrazioni indotte.
Processi stocastici: processi stocastici a tempo discreto, processi stocastici a tempo continuo, processi stazionari in senso forte e debole (cenni), processi gaussiani (cenni), processi a incrementi indipendenti (cenni).
Processi markoviani: definizioni, catene di Markov (cenni).

Martingale a tempo discreto

Martingale rispetto a partizioni: tempi di arresto, impossibilità di una strategia di arresto vincente.
Trasformate di martingala: differenza di martingala, sequenze predicibili, trasformata di martingala, impossibilità di una strategia di scommesse vincente.
Martingale rispetto a sigma-algebre: definizioni.

Processi stocastici a tempo continuo

Processi stocastici a tempo continuo: filtrazioni, processi adattati ad una filtrazione; martingale, processi markoviani.
Moto browniano: definizione di moto browniano (processo di Wiener), proprietà di martingala, non derivabilità e variazione infinita delle traiettorie (cenni), variazione quadratica, proprietà di Markov.

Integrale stocastico

Integrale stocastico di Itô: integrale di Itô di un processo semplice rispetto al moto browniano, proprietà di martingala, proprietà di isometria, variazione quadratica.
Integrale di Itô di un processo generico: proprietà.
Formula di Itô: analogo a tempo discreto della formula di Itô per trasformate di martingala, formula di Itô per il moto browniano.
Cambio di misura: derivata di Radon-Nikodým nel caso di uno spazio campionario finito ed in generale, processo “derivata di Radon-Nikodým” nel caso di uno spazio campionario finito ed in generale.


Libri di testo

- A. M. Mood, F. A. Graybill, D. C. Boes (1991). Introduzione alla Statistica. McGraw-Hill, Milano.
- B. V. Gnedenko (1979). Teoria della Probabilità. Editori Riuniti, Roma.
- R. V. Hogg, A. T. Craig (1994). Introduction to Mathematical Statistics, 5th Edition. Macmillan.
- A. N. Shiryaev (1996). Probability, 2nd Edition. Springer, New York.
- S. E. Shreve (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer, New York.
- S. E. Shreve (2004). Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model. Springer, New York.

Materiale integrativo, appunti, esercizi e soluzioni distribuiti a cura del docente.

Testi di approfondimento

- G. R. Grimmett, D. R. Stirzaker (2001). Probability and Random Processes (Third Edition). Oxford University Press.


Guida allo studio

Durante lo svolgimento del corso sarà indicato, per ogni specifico argomento, quali parti studiare dei libri di testo e quali altri testi consultare.
Gli studenti non frequentanti possono rivolgersi al docente per avere le indicazioni necessarie.
Una guida definitiva allo studio dei libri di testo sarà distribuita a fine corso.
Si consiglia di seguire le lezioni e le esercitazioni e di prendere regolarmente gli appunti.


Conoscenze preliminari

Per seguire con profitto il corso non sono richieste particolari conoscenze preliminari di probabilità.
Si assumono per date tutte le nozioni usualmente impartite in un primo corso universitario di probabilità e statistica.
Si assume in particolare che siano note le principali distribuzioni univariate, sia discrete che continue, nonché i principali teoremi limite quali la legge (debole) dei grandi numeri ed il teorema del limite centrale.


Esercitazioni

Fanno parte integrante del corso una serie di esercitazioni, alcune da svolgere a casa individualmente.
Tutte le esercitazioni sono indispensabili per una adeguata comprensione degli argomenti del corso.


Organizzazione del corso

Il corso si svolge nel primo semestre per un totale di 54 ore.


Orario di ricevimento

Nel caso di sovrapposizioni (con altre lezioni, ecc.) delle ore previste per il ricevimento studenti, si prega di contattare direttamente il docente.

Modalità d'esame

La prova di esame consiste in una prova scritta (di circa 2 ore e 30 minuti) seguita da una prova orale (di circa 30 minuti).
Per la prova scritta si potrà usare solamente una calcolatrice e non sarà consentito utilizzare nessun altro materiale (libri, appunti, ecc.).
Saranno ammessi alla prova orale soltanto gli studenti che avranno riportato un voto maggiore od uguale a 15/30 nella prova scritta.
Per sostenere le prove lo studente deve presentarsi munito di tessera universitaria, ovvero di libretto universitario, o di idoneo documento di riconoscimento.

Materiale e documenti

•   01) Informazioni sul corso   (pdf, it, 88 KB, 25/09/15)