L'insegnamento è organizzato come segue:

Obiettivi formativi

Il corso di Probabilità mira all'introduzione della teoria delle probabilità nel quadro più generale della teoria della misura di Lebesgue. Particolare attenzione è data agli aspetti analitici alla base dell'assiomatica di Kolmogorov, alla costruzione di spazi di probabilità generali con richiamo alle definizioni di algebra, sigma-algebra, insiemi boreliani, funzioni misurabili, push-forward di misure, etc.

Il corso è sostanzialmente suddiviso in due parti dedicate alla definizione e studio delle variabili aleatorie (v.a.) discrete, rispettivamente continue.

L'introduzione ai concetti fondamentali della moderna teoria delle probabilità è di tipo classico e basata sugli elementi del calcolo combinatorio, sulle leggi della teoria degli insiemi e sui fondamenti del calcolo proposizionale.


L'approccio alle v.a. nel continuo è prima sviluppato in senso strettamente probabilistico, con richiami ad alcuni aspetti analitici fondamentali quali quelli del calcolo integrale (integrazione in R^n, teorema di Fubini, convergenza dominata, etc.), della convoluzione di funzioni e delle trasformate di Laplace e Fourier.

In un secondo momento gli aspetti probabilistici vengono rivisti nell'ambito della teoria della misura, specialmente in riferimento ai teoremi di convergenza per successioni di v.a., ivi compreso il teorema del limite centrale.

Durante l'intero svolgersi del corso di Probabilità, le lezioni sono sempre corredate da parti applicative caratterizzate dalla presentazioni di esempi ed problemi rilevanti. Inoltre lo studente è chiamato a risolvere esercizi di difficoltà diversa nel corso di esercitazioni svolte in classe con il docente, l'esercitatore ed il tutor.

Programma

Fondamenti di Probabilità nell’approccio assiomatico à la Kolmogorov

Eventi indipendenti, incompatibili

Rudimenti di calcolo combinatorio (e.g. combinazioni, permutazioni)

Spazi di probabilità uniformi

Probabilità condizionata

Esperimenti con prove indipendenti ripetute

Definizione probabilistica di variabile aleatoria (v.a.)

Variabili aleatorie discrete a valori in R^n
o Funzione di distribuzione
o Funzione di densità (discreta)
o Leggi (discrete) congiunte, marginali e condizionate, indipendenza
o Esempi di v.a.: Bernoulliana, binomiale, geometrica, di Poisson, etc.
o Operatori media, varianza, covarianza
o Indice di correlazione
o Momenti di una v.a.
o Funzioni generatrici

Approssimazione di Poisson alla Binomiale

Disuguaglianza di Čebyšëv (Чебышёв)

Legge dei grandi numeri
o formulazione debole e forte

Variabili aleatorie continue a valori in R^n
o v.a. assolutamente continue
o Funzione di densità (continua)
o Leggi (continue) congiunte, marginali e condizionate, indipendenza
o Esempi di v.a.: uniforme, esponenziale, Gaussiana, Gamma, etc.
o Operatori media, varianza, covarianza
o Leggi normali
o Trasformazioni di v.a. in R^n
o Speranza condizionale (come v.a.)
o Funzione caratteristiche
o Momenti di una v.a.

Convergenza
o Le v.a. nella teoria della misura
o Vari tipi di convergenza per successioni di v.a.
o Teorema limite centrale ed approssimazione normale

Modalità d'esame

Esame scritto