Codice insegnamento

4S009864

Docenti

Mauro Bonafini, Bogdan Mihai Maris

Coordinatore

Mauro Bonafini

Crediti

6

Lingua di erogazione

Italiano

Settore Scientifico Disciplinare (SSD)

MAT/05 - ANALISI MATEMATICA

Periodo

Primo semestre dal 3 ott 2022 al 27 gen 2023.

Orario Lezioni Moodle Seminari 0

Obiettivi di apprendimento

Il corso si propone di fornire i concetti fondamentali dell'analisi matematica: lo scopo è di fornire una consapevolezza dei metodi impiegati, in vista delle applicazioni dell'analisi. Al termine del corso lo studente dovrà dimostrare di: avere conoscenze e capacità di comprensione delle tecniche di base di analisi matematica per la soluzione di problemi e loro utilizzo; avere capacità di applicare le conoscenze acquisite e capacità di comprensione di funzioni, derivate, integrali e serie a situazioni diverse anche in contesti non propriamente matematici; saper scegliere tra le varie tecniche quella più adatta al problema in esame; saper esporre la soluzione di un problema impiegando termini corretti; saper sviluppare le competenze necessarie per ampliare la loro conoscenza a partire dai concetti appresi.

Prerequisiti e nozioni di base

Conoscenze di base richieste per l'iscrizione al corso di studi.

Programma

Introduzione.
Nozione intuitiva di insieme, nozioni di logica, operazioni insiemistiche elementari, insiemi numerici, minoranti e maggioranti, estremo inferiore ed estremo superiore, minimo e massimo, assioma di continuità dei numeri reali, numeri complessi. Definizione di funzione, funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione composta e funzione inversa.

Successioni.
Definizione di successione, successioni monotone, successioni limitate, definizione di limite per una successione, unicità del limite, algebra dei limiti, confronti e stime asintotiche. Forme indeterminate e calcolo dei limiti.

Funzioni reali di variabile reale.
Funzioni limitate, massimi e minimi, funzioni periodiche, funzioni monotone. Grafico di una funzione, operazioni elementari sul grafico.

Continuità.
Nozione di continuità per una funzione reale di variabile reale. Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato: teorema degli zeri, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi.

Limiti.
Punti di accumulazione, limiti per funzioni reali di variabile reale, algebra dei limiti. Limiti notevoli, confronti, stime asintotiche, cambio di variabile nei limiti e calcolo dei limiti.

Derivata.
Definizione di derivata di una funzione reale di variabile reale, retta tangente. Calcolo delle derivate per funzioni elementari, algebra delle derivate, derivata della funzione composta, derivata della funzione inversa. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale, continuità e derivabilità. Punti stazionari, massimi e minimi locali. Funzioni derivabili su un intervallo: teorema di Fermat, teorema di Lagrange (o del valor medio), test di monotonia. Teorema di de l'Hospital. Derivata seconda: significato geometrico, concavità, convessità. Studio del grafico di una funzione. Approssimazioni: nozione di "o piccolo'', polinomio di MacLaurin/Taylor, formula di MacLaurin-Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange. Applicazione al calcolo dei limiti mediante espansione asintotica.

Serie.
Serie numeriche e criteri di convergenza (confronto, confronto asintotico, criteri del rapporto e della radice, criterio di Leibniz). Serie di Taylor.

Calcolo integrale.
Definizione di integrale e varie interpretazioni, classi di funzioni integrabili, proprietà dell'integrale, teorema della media. Nozione di primitiva e teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi per la ricerca di una primitiva: integrali immediati, integrali per sostituzione, integrali per parti, integrali di funzioni razionali. Funzioni integrali e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Applicazioni del calcolo integrale. Integrali generalizzati: integrali di funzioni non limitate e criteri di integrabilità al finito; integrazione su intervalli illimitati e criteri di integrabilità all'infinito.

Equazioni differenziali.
Nozione di equazione differenziale e di soluzione. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, metodo risolutivo e teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo e del secondo ordine: esistenza delle soluzioni, struttura dell'integrale generale, metodi risolutivi.

Bibliografia

Modalità didattiche

Lezione frontale.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame è costituito da una prova scritta di 3 ore e copre tutti gli argomenti trattati durante il corso, teoria ed esercizi. In merito alla parte teorica, tutte le definizioni/enunciati sono argomento d'esame. Per quanto riguarda le dimostrazioni, sarà individuata a fine corso una lista di dimostrazioni da sapere e l'esame includerà almeno una domanda del tipo "Enunciare e dimostrare il teorema X''.

Cheat sheet.
Allo scritto è permesso portare una "cheat sheet", ovvero
- singola pagina A4
- scritta a mano (di proprio pugno)
- nome-cognome-matricola scritti in alto
- sullo spazio a disposizione potete scrivere tutto quello che volete.
La cheat sheet va consegnata insieme all'esame.

Struttura.
L'esame si divide in due parti.
La prima parte, la prova sbarrante, comprende 8 brevi esercizi. La prova sbarrante si ritiene superata risolvendo almeno 6 esercizi su 8, in caso contrario il candidato è automaticamente respinto.
La seconda parte, la prova completa, comprende esercizi e domande teoriche.

Punteggio.
Il superamento della prova sbarrante attribuisce 3 punti, i vari esercizi della prova completa attribuiscono nel complesso 30 punti, per un totale di 33 punti.

Registrazione del voto e superamento dell'esame.
Il voto finale è dato dal minimo tra il punteggio ottenuto e 30. Ogni voto sufficiente, i.e. dal 18/30 in su, può essere accettato e conseguentemente registrato a libretto.

Orale (facoltativo).
L'orale è incentrato sulla teoria, è facoltativo e può essere affrontato da tutti i candidati che hanno conseguito almeno 17/30. Attenzione: con la prova orale, anche partendo da un voto sufficiente, si può essere respinti e costretti a ripetere la prova scritta. L'orale è condizione necessaria per la lode.

Criteri di valutazione

Comprensione degli argomenti trattati durante il corso e capacità di applicare le nozioni acquisite nella risoluzione di esercizi e nella costruzione di nuovi enunciati.

Criteri di composizione del voto finale

Voto dello scritto (ed eventuale orale).

Lingua dell'esame

Italiano