Codice insegnamento

4S001142

Docente

Alessandro Gnoatto

Coordinatore

Alessandro Gnoatto

Crediti

9

Lingua di erogazione

Italiano

Settore Scientifico Disciplinare (SSD)

SECS-S/06 - METODI MATEMATICI DELL'ECONOMIA E DELLE SCIENZE ATTUARIALI E FINANZIARIE

Periodo

Secondo semestre LM dal 17 feb 2025 al 23 mag 2025.

Corsi Singoli

Autorizzato

Orario Lezioni Moodle Seminari 0

Obiettivi di apprendimento

Il corso costituisce una introduzione a principi fondamentali della finanza quantitativa, per esempio il non arbitraggio o la replicabilità di titoli finanziari, sui quali si basano la determinazione di un prezzo di riferimento di un titolo derivato e la copertura dal rischio connesso con la sua vendita. L’applicazione operativa dei principi viene illustrata in diversi modelli stocastici per l’evoluzione del prezzo dei titoli sottostanti, in modo graduale, partendo dai più semplici modelli a tempo discreto per arrivare a modelli a tempo continuo.

Prerequisiti e nozioni di base

Corsi propedeutici: Matematica, Matematica finanziaria, Processi stocastici
Conoscenze importanti per un proficuo apprendimento: calcolo matriciale, sistemi lineari, funzioni reali di una o più variabili reali (in particolare: funzioni continue, composizione di funzioni, derivate parziali), concetti basilari della matematica finanziaria (tasso di interesse, rendimento di un investimento, differenza tra titoli obbligazionari e azioni), concetti fondamentali della teoria della probabilità (sigma algebra, variabili aleatorie, valori attesi, covarianze, spazio L^2 di v.a., indipendenza, probabilità e valori attesi condizionati, misure di probabilità equivalenti, densità di probabilità, funzione di ripartizione, legge Gaussiana, convergenze in distribuzione, in probabilità, in L^2, uguaglianza quasi certa), concetti basilari sui processi stocastici (martingale, moto browniano)

Programma

1. Modelli di mercato discreti
Modelli uniperiodali: binomiale e generale. Modelli multiperiodali: binomiale e generale.
Portafogli di titoli, il principio di non arbitraggio.
Titoli derivati: definizione, esempi, proprietà.
Assenza di arbitraggi.
Processi martingala a tempi discreti
Misure equivalenti di martingala e neutralità al rischio.
Numerario
Titoli replicabili e valutazione di titoli derivati
Completezza dei mercati
Il rendimento di titoli rischiosi
I due teoremi Fondamentali della Finanza
2. Modelli di mercato in tempo continuo
Passaggio dal discreto al continuo.
Moto Browniano geometrico e modellizzazione di dati empirici
Quantificazione di rischi con un modello
Integrale di Ito, variazione/covariazione quadratica,
equazioni differenziali stocastiche, caratterizzazione delle martingale
Lemma di Ito
Modello di mercato con n+1 titoli e m moti browniani
Portafogli autofinanzianti
Assenza di arbitraggi
Teorema di Girsanov
Misura equivalente di martingala
Replicabilità e pricing di titoli derivati
Completezza ed EDP per la funzione prezzo di un derivato
Delta hedging
Modello di Black e Scholes
Formula per il prezzo di opzioni call e put
Non frequentanti: le modalità d’esame non sono differenziate fra frequentanti e non frequentanti

Bibliografia

Modalità didattiche

Organizzazione delle attività didattiche: lezioni, esercitazioni,
Materiale utile sulla pagina moodle del corso: slides delle lezioni, esercizi.
Abilità necessarie per un proficuo apprendimento: volontà e capacità di condurre un ragionamento logico in modo rigoroso, di circostanziare sempre passaggi e conclusione
Modalità di verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in due parti: la prima consiste nello sviluppare un Project Work utilizzando il linguaggio di programmazione Java. Il project work contribuisce al voto finale con un peso pari al 30%.
Il Project Work potrà essere sviluppato in gruppi di studio di massimo 4 allievi.
Obiettivi del Project Work:
mettere in pratica e approfondire i concetti visti a lezione.
migliorare le capacità di lavorare in gruppi;
Il voto del Project Work non ha scadenza.
Per essere ammessi alla prova scritta gli studenti dovranno ottenere un parere favorevole al Project Work. Quanti non consegneranno il project work entro la scadenza prevista riceveranno un voto pari a 0/30.
La seconda parte dell’esame consiste in una prova scritta, su tutti gli argomenti in programma. La prova conterrà esercizi teorici, pratici e domande di programmazione in Java. In caso di valutazione maggiore o uguale a 18, la seconda prova contribuisce al voto finale con il peso rimanente pari al 70% .
ATTENZIONE: gli studenti lavoratori a tempo pieno sono invitati a mettersi in contatto con il docente all'inizio del semestre per concordare un lavoro individuale in sostituzione del project work.

Criteri di valutazione

Caratteristiche della prestazione attesa. Allo studente è richiesto di dimostrare una conoscenza critica ed approfondita degli argomenti affrontati nel corso. I concetti non dovranno essere esposti in modo meccanico ma ragionato, collegamenti potranno essere richiesti ed esercizi di tipo diverso da quelli fatti in classe proposti
L’esposizione sintetica ma esaustiva, rigorosa e diretta subito al nocciolo della questione saranno particolarmente apprezzati. Risposte vaghe, poco precise, poco circostanziate o errate saranno penalizzate

Criteri di composizione del voto finale

30% PW + 70% Esame finale se sufficiente (si veda la modalità di esame per i dettagli)

Lingua dell'esame

Italiano o inglese