Codice insegnamento

4S00244

Crediti

6

Coordinatore

Non ancora assegnato

Lingua di erogazione

Italiano

Settore Scientifico Disciplinare (SSD)

MAT/05 - ANALISI MATEMATICA

Moodle Seminari 0

L'insegnamento è organizzato come segue:

Obiettivi formativi

L’insegnamento si propone di introdurre la teoria e alcune applicazioni
dei sistemi dinamici continui e discreti, che descrivono l’evoluzione
temporale di variabili quantitative.
Al termine del corso lo studente sarà in grado di investigare la
stabilità e la relativa natura di un equilibrio, l’analisi qualitativa
di un sistema di equazioni differenziali ordinarie e il ritratto in
fase di un sistema dinamico in dimensione 1 e 2.
Lo studente sarà altresì in grado di analizzare le applicazioni di base
dei sistemi dinamici alla dinamica delle popolazioni, alla meccanica e
ai modelli di traffico. Infine sarà in grado di produrre argomentazioni
e dimostrazioni rigorose su questi temi e sarà in grado di leggere
articoli e testi di sistemi dinamici e applicazioni.

Programma

Prima parte

1. Complementi sulle equazioni differenziali ordinarie
Teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie: esistenza e unicità di soluzioni; soluzioni massimali e globali; lemma di Gronwall; dipendenza continua dai dati iniziali.

2. Campi vettoriali ed equazioni differenziali ordinarie
Campi vettoriali: spazio delle fasi, curve integrali, orbite, equilibri, ritratto in fase. Esempi di ritratti in fase in dimensione uno. Sistemi di equazioni differenziali del second'ordine: analisi nello spazio delle fasi; equilibri.

3. Sistemi lineari
Linearizzazione di un campo vettoriale attorno ad un equilibrio. Classificazione dei sistemi lineari reali 2x2 con matrice diagonalizzabile sui complessi. (Se il tempo lo permette, cenni al caso nilpotente). Sistemi lineari reali in dimensione n: decomposizione in sottospazi invarianti; i sottospazi stabile, instabile e centrale. Confronto tra un campo vettoriale e la sua linearizzazione attorno ad un equilibrio iperbolico.

4. Flusso di un campo vettoriale
Flusso di un campo vettoriale. Cambi di coordinate: campi vettoriali coniugati; formula del push-forward e del pull-back. Equazioni differenziali non autonome: cambi di coordinate dipendenti dal tempo; riscalamenti di campi vettoriali e riparametrizzazioni in tempo. Teorema di rettificazione locale.

5. Integrali primi
Insiemi invarianti; integrali primi; derivata di Lie. Foliazioni invarianti e abbassamento dell’ordine. Integrali primi ed equilibri attrattivi.

6. Stabilità degli equilibri
Stabilità alla Lyapunov; il metodo delle funzioni di Lyapunov; il metodo spettrale. Applicazioni ed esempi.

7. Equazione di Newton 1-dimensionale
Ritratto in fase di equazioni di Newton in dimensione uno, nel caso conservativo. Linearizzazione. Abbassamento dell’ordine e legge oraria. Sistemi con dissipazione.


Seconda parte

8. Biforcazioni
Nozione di biforcazione; esempi di biforcazioni dagli equilibri in dimensione uno; applicazioni.

9. Introduzione al calcolo delle variazioni 1-dimensionale
Il metodo indiretto per funzionali integrali in dimensione 1. Condizioni necessarie per la minimalità: le equazioni di Eulero-Lagrange. Integrale primo di Jacobi e leggi di conservazione. Geodetiche su una superficie.

10. Sistemi Hamiltoniani
Campi vettoriali Hamiltoniani. Trasformazione di Legendre. Parentesi di Poisson. Trasformazioni canoniche. Condizioni di canonicità, condizione di Lie e funzioni generatrici. Equazione di Hamilton-Jacobi e cenni ai sistemi integrabili. Geometria dello spazio delle fasi: teoremi di Liouville e del ritorno.

Modalità d'esame

L'esame consiste di due prove: una scritta ed una orale.

Una prova scritta di esercizi - per esempio, studi qualitativi di equazioni differenziali; risoluzione esplicita di equazioni differenziali; studi del ritratto in fase di sistemi non-lineari in dimensione 2; studio della stabilità di equilibri; cambiamenti di coordinate; integrali primi... Per chi segue il corso da 9CFU, anche: elementi di teoria delle biforcazioni; sistemi Hamiltoniani e trasformazioni canoniche...
La prova scritta verifica i seguenti obiettivi formativi:
- aver adeguate capacità di analisi;
- avere adeguate competenze computazionali;
- essere in grado di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale;
- avere la capacità di costruire e sviluppare modelli matematici per le scienze fisiche e naturali.

Una prova orale con 3 domande di teoria. La prova è obbligatoria e va sostenuta all’interno della sessione in cui viene superata la prova scritta, pena la decadenza della validità della prova scritta.
La prova orale verifica i seguenti obiettivi formativi:
- essere in grado di produrre e riconoscere dimostrazioni rigorose.

A causa della situazione pandemica la struttura dell'esame potrebbe subire delle variazioni.