Codice insegnamento

4S00254

Docenti

Paolo Dai Pra, Francesca Collet

Coordinatore

Paolo Dai Pra

Crediti

6

Lingua di erogazione

Italiano

Settore Scientifico Disciplinare (SSD)

MAT/06 - PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA

Periodo

Primo semestre dal 3 ott 2022 al 27 gen 2023.

Orario Lezioni Moodle Seminari 0

Obiettivi di apprendimento

L’obbiettivo dell’insegnamento è di presentare alcuni classi di modelli probabilistici di particolare rilevanza applicativa, in particolare modelli dinamici. L’enfasi è posta, oltre che sul rigore matematico, sullo sviluppo della capacità di cogliere gli aspetti essenziali di un fenomeno reale e tradurli in un modello la cui analisi, analitica o numerica, sia accessibile.L’argomento principale del corso è costituito dalle teoria delle catene di Markov, tanto a tempo discreto che continuo. Ogni sviluppo della teoria è accompagnato dalla presentazione di esempi di rilevante interesse applicativo, motivati dall’Economia, dalle Scienze Fisiche e Biologiche, ma anche da problemi di natura computazionale che emergono nella ricerca di algoritmi efficienti. Nella parte finale del corso verranno introdotte le nozioni di valor atteso condizionale e martingala.Al termine del corso lo studente avrà gli strumenti per usare in ambito sia teorico che applicativo una vasta gamma di modelli probabilistici, comprendendone i limiti e l'effettiva applicabilità, anche da un punto di vista computazionale. Sarà inoltre in grado di avere una visione unificante e astratta di classi di problemi con caratteristiche simili, e di affrontare la lettura di testi anche avanzati.

Prerequisiti e nozioni di base

Probabilità di base

Programma

1. Valore atteso condizionale e distribuzione condizionale. Martingale. Teorema d'arresto e teorema di convergenza.
2. Catene di Markov a tempo discreto. Proprietà di Markov e probabilità di transizione. Irriducibilità, aperiodicità. Distribuzioni stazionarie. Distribuzioni reversibili.
3. Tempi di ingresso. Analisi a un passo. Convergenza alla distribuzione stazionaria. Legge dei grandi numeri per catene di Markov. Metodi Markov Chain Monte Carlo: algoritmo di Metropolis e Gibbs sampler.
4. Catene di Markov riducibili. Stati transitori e stati ricorrenti. Probabilità di assorbimento.
5. Catene di Markov a tempo continuo. Il processo di Poisson e sue proprietà. La proprietà di Markov a tempo continuo. Semigruppo associato ad una catena di Markov: continuità e derivabilità; generatore. Equazioni di Kolmogorov. Distribuzioni stazionarie. Formula di Dynkin. Costruzione probabilistica di una catena di Markov a tempo continuo.

Bibliografia

Modalità didattiche

Tutti gli argomenti saranno illustrati a lezione. Materiale addizionale, quale esercizi settimanali, appunti ed ulteriori referenze, saranno disponibile alla pagina Moodle del corso.
Saranno specificamente tutelati gli studenti e le studentesse in situazioni di limitazione agli spostamenti per effetto di disposizioni nazionali di contrasto al COVID o in situazioni particolari di fragilità. In questi casi gli studenti e le studentesse sono invitati a contattare direttamente il docente per organizzare le modalità di recupero più opportune.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L’esame consiste in una prova scritta, della durata di 180 minuti. La prova prevede di risolvere alcuni esercizi e di rispondere ad alcune domande di teoria, in cui verrà richiesta almeno una dimostrazione di quelle contrassegnate nel programma del corso.

Criteri di valutazione

Per superare l'esame, la/o studentessa/studente dovrà dimostrare:
-- di aver assimilato le nozioni teoriche, mostrando conoscenza dettagliata di definizioni ed enunciati, oltre ad alcune dimostrazioni;
-- di essere in grado di applicare la teoria alla risoluzione di problemi.

Lingua dell'esame

Italiano