Obiettivi formativi

Derivazione delle equazioni della dinamica dei fluidi a partire da leggi fisiche di conservazione; discussione sulla struttura reologica dei fluidi ed utilizzo del modello di fluido newtoniano; varie tipologie di corrente e relative semplificazioni; il Teorema di Bernoulli in tutte le forme e nei vari casi; alcune soluzioni esatte; la dinamica della vorticità; lo strato limite laminare; Stabilità e transizione; Turbolenza; equazioni iperboliche in dinamica dei fluidi. Parte integrante degli obiettivi del corso e` la risoluzione numerica in Matlab/Octave di alcuni problemi tipici della dinamica dei fluidi.

Programma

1. Introduzione ai fluidi: Definizione di fluido; Ipotesi del continuo e proprietà fisiche dei fluidi; Fluido, flusso, corrente; Alcune considerazioni cinematiche (Linee di Corrente, Traiettorie, Linee di Fumo); Forze e sforzi nei fluidi (Teorema di Cauchy, Simmetria del tensore degli sforzi); La relazione costitutiva per fluidi newtoniani isotropi (Il tensore degli sforzi viscosi).

2. Le equazioni di governo: Volume di controllo fisso o in moto con il fluido (approccio Euleriano e Lagrangiano); Conservazione della massa in un volume fisso; Derivata rispetto al tempo di integrali su volumi variabili nel tempo; Il Teorema di Reynolds (caso scalare e vettoriale, dimostrazione); Conservazione della massa in un volume in moto con il fluido; Dai princìpi di conservazione alle equazioni di Navier-Stokes; Le equazioni di Navier-Stokes complete (in forma conservativa tensoriale); La derivata sostanziale (o materiale o Lagrangiana); Forma conservativa e forma convettiva; Forme alternative per l'equazione dell'energia; Equazione dell'energia interna; Equazione dell'entropia; Equazione dell'entalpia; Equazione della temperatura; Adimensionalizzazione delle equazioni di governo; Condizioni iniziali e al contorno.

3. Casi particolari delle equazioni di governo: Correnti particolari (Dipendenza dal tempo, Effetto della viscosità, Conduzione termica, Entropia, Comprimibilità, Correnti barotropiche); Corrente incomprimibile; Corrente ideale, equazioni di Eulero; Corrente irrotazionale; Corrente barotropica non viscosa: forma di Crocco; Il teorema di Bernoulli nelle diverse forme (Il caso stazionario, Il caso irrotazionale instazionario, Il caso irrotazionale e stazionario).

4. Alcune soluzioni esatte: Corrente incomprimibile e parallela; Canale piano infinito: corrente di Couette e di Poiseuille; Tubo a sezione circolare: corrente di Hagen-Poiseuille.

5. Dinamica della vorticità: Definizioni preliminari; Equazione per la vorticità nel caso generale; Casi particolari (Corrente a viscosità e densità costanti, Corrente barotropica, non viscosa e con campo di forze conservative); Il teorema di Kelvin; Teoremi di Helmholtz e loro significato geometrico (Primo, Secondo e Terzo).

6. Lo strato limite laminare: Teoria dello strato limite di Prandtl (derivazione delle equazioni basata sugli ordini di grandezza); Strato limite su lamina piana: derivazione dell'equazione di Blasius tramite soluzioni simili; Profilo di Blasius (corrente esterna uniforme); Spessore dello strato limite; Valore asintotico della velocità normale alla parete; Resistenza di attrito; Grandezze caratteristiche dello strato limite (Spessore di spostamento, Spessore di quantità di moto, Fattore di forma); Equazione integrale di von Kàrmàn; Implementazione numerica per lo strato limite 2D su lamina piana:
(a) PDE parabolica + CC (equazioni di Prandtl): marching nello spazio
(b) ODE + CC (equazione di Blasius): nonlinear boundary value problem
(c) confronto tra i due metodi.

7. Stabilità e transizione: Corrente confinata in un tubo - l'esperimento di Reynolds; La transizione in correnti aperte - lo strato limite; Stabilità lineare per correnti piane e parallele (Equazione di Orr-Sommerfeld); Teorema di Squire;
Stabilità non viscosa (criteri di Rayleigh); Stabilità viscosa; Curve di stabilità neutra.

8. La turbolenza: Caratteristiche fenomenologiche di una corrente turbolenta; Scale turbolente; Cascata di energia; La teoria di Kolmogorov; DNS - cenni alla simulazione diretta della turbolenza; RANS: le equazioni mediate di Reynolds; Modelli per la chiusura delle equazioni mediate di Reynolds; Ipotesi di Boussinesq e viscosità turbolenta (Modello di ordine 0, Modello di ordine 1 e Modello di ordine 2); LES - cenni alla simulazione dei grandi vortici.

9. Equazioni differenziali iperboliche in fluidodinamica: Le principali caratteristiche e confronto con i sistemi ellittici e parabolici già considerati; Equazioni iperboliche; Leggi di conservazione; Equazione del trasporto; Linee caratteristiche; Problema di Riemann; Equazione di Burgers; Soluzioni in forma debole; Onde d'urto; Onde di rarefazione; Confronto tra metodi conservativi e non; Metodo delle caratteristiche; Utilizzo di un'applet per visualizzare onde d'urto e rarefazioni; Sistemi iperbolici lineari e non lineari; Genuina non linearità; Degenerazione lineare; Discontinuità di contatto;
Soluzione del problema di Riemann per le equazioni di Eulero.

Modalità d'esame

L’esame intende accertare che lo studente sia in grado di produrre e riconoscere dimostrazioni rigorose, di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di discutere modelli matematici per la fluidodinamica analizandone limiti e applicabilità. L'esame è costituito da un colloquio orale sul programma del corso e dalla discussione sullo svolgimento delle esercitazioni numeriche in Matlab/Octave assegnate per casa durante il corso. La discussione su queste ultime mira ad accertare che lo studente sia in grado utilizzare strumenti informatici, linguaggi di programmazione e software specifici.