Codice insegnamento

4S00031

Docente

Alberto Burato

Coordinatore

Alberto Burato

Crediti

6

Lingua di erogazione

Italiano

Settore Scientifico Disciplinare (SSD)

MAT/05 - ANALISI MATEMATICA

Periodo

Primo semestre dal 4 ott 2021 al 28 gen 2022.

Orario Lezioni Moodle Seminari 0

Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire le conoscenze fondamentali del calcolo differenziale e integrale in più variabili, generalizzando e approfondendo le nozioni apprese nel corso di Analisi Matematica I e utilizzando all'occorrenza le nozioni apprese negli altri corsi frequentati al primo anno. Al termine del corso lo studente dovrà dimostrare di: - avere conoscenze e capacità di comprensione di tecniche e nozioni avanzate dell'analisi matematica e capacità di utilizzarle per la soluzione di problemi; - avere capacità di applicare le conoscenze acquisite e capacità di comprensione nei successivi 2 corsi per i quali tali nozioni risultano essere propedeutiche anche in contesti non propriamente matematici; - - saper scegliere quale strumento matematico o risultato teorico possano essere utili nella soluzione di un dato problema; - saper utilizzare in maniera appropriata il linguaggio e il formalismo dell'analisi matematica; - saper sviluppare le competenze necessarie per ampliare le conoscenze in ambito matematico, informatico o scientifico in genere, servendosi delle nozioni apprese.

Programma

Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Equazioni lineari del primo ordine. Problema di Cauchy e teorema di esistenza e unicità della soluzione. Equazioni a variabili separabili. Campo di direzioni e analisi grafica di un'equazione differenziale in semplici casi. Equazioni lineari del secondo ordine, omogenee e non omogenee: struttura dell'insieme delle soluzioni; equazioni lineari a coefficienti costanti e metodo di somiglianza; Wronskiano e metodo di variazione delle costanti arbitrarie.

Calcolo differenziale in più variabili. Limiti e continuità per funzioni di più variabili, curve di livello, derivate direzionali e differenziale di funzioni in più variabili, teorema del differenziale totale, gradiente di funzioni scalari. Derivate di ordine superiore, matrice Hessiana, teorema di Schwarz, sviluppo di Taylor.
Problemi di ottimizzazione per funzioni di più variabili. Punti critici, ottimizzazione libera, studio della matrice Hessiana per la determinazione di massimi e minimi liberi relativi. Ottimizzazione vincolata, moltiplicatori di Lagrange, teorema di Dini, teorema della funzione inversa.

Integrali multipli per funzioni continue definite su rettangoli n-dimensionali. Teorema di Fubini. Formula del cambiamento di variabili negli integrali doppi e tripli. Integrale curvilineo di prima specie.

Superfici regolari e integrali superficiali di prima specie, formula di Gauss-Green.

Integrale curvilineo di seconda specie, campi vettoriali conservativi.

Bibliografia

Modalità d'esame

L'esame finale consiste in una prova scritta comprendente una serie di esercizi da risolvere relativi al programma svolto (indicazioni specifiche saranno comunicate durante il corso).
La prova finale potrà essere sostituita da due prove in itinere, la prima verso la fine di novembre e la seconda coincidente con il primo appello utile di febbraio: in questo caso, il voto d'esame sarà dato dalla somma delle due valutazioni parziali (max 16 punti ciascuna). L'esame ha lo scopo di verificare la capacità di risolvere problemi sul programma del corso, il possesso di un'adeguata capacità di analisi, sintesi ed astrazione, a partire da richieste formulate in linguaggio naturale o in linguaggio specifico.

Le prove d'esame verranno effettuate in presenza.