Studiare
In questa sezione è possibile reperire le informazioni riguardanti l'organizzazione pratica del corso, lo svolgimento delle attività didattiche, le opportunità formative e i contatti utili durante tutto il percorso di studi, fino al conseguimento del titolo finale.
Piano Didattico
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Laurea magistrale in Mathematics - Immatricolazione dal 2025/2026Il piano didattico è l'elenco degli insegnamenti e delle altre attività formative che devono essere sostenute nel corso della propria carriera universitaria.
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1° Anno
| Insegnamenti | Crediti | TAF | SSD |
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1 module between the following1 module between the following 3 modules among the followingLegenda | Tipo Attività Formativa (TAF)
TAF (Tipologia Attività Formativa) Tutti gli insegnamenti e le attività sono classificate in diversi tipi di attività formativa, indicati da una lettera.
Stochastic calculus (2020/2021)
Codice insegnamento
4S008268
Docente
Coordinatore
Crediti
6
Lingua di erogazione
Inglese
Settore Scientifico Disciplinare (SSD)
MAT/06 - PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Periodo
II semestre dal 1 mar 2021 al 11 giu 2021.
Obiettivi formativi
Questo corso fornirà un'introduzione alla teoria delle equazioni differenziali stocastiche (EDS), basata principalmente sul tipo di rumore del movimento Browniano. Lo scopo di questo corso è quello di introdurre e analizzare modelli di probabilità che catturano le caratteristiche stocastiche del sistema in studio per prevedere il breve e lungo termine effetti che questa casualità avrà sui sistemi presi in considerazione. Lo studio dei modelli di probabilità per processi stocastici a tempo continuo comprende una vasta gamma di strumenti matematici e computazionali. Il corso verrà sviluppato in equilibrio tra aspetti teorici ed applicazioni collegate, le quali saranno principalmente focalizzate si aspetti della finanza matematica, della biologia e della teoria delle popolazione, anche in relazione allo studio delle EDS associate. Gli argomenti includono: costruzione del moto Browniano; martingale in tempo continuo; integrale stocastico; calcolo di Ito e formula di Ito-Doeblin; equazioni differenziali stocastiche; Teorema di Girsanov; teorema di rappresentazione martingala; la formula di Feynman-Kac e i processi di Lévy.
Programma
* Probabilità: richiami e risultati di base
* Processi stocastici: richiami, definizioni e proprietà principali; Processi Martingala; Teorema del campionamento opzionale;vVariazione quadratica (per processi stocastici in generale e martingale in particolare);
* Processi stocastici a tempo discreto: richiami ed enfasi sulla passeggiata aleatoria (a partire dal modello binomiale, anche in più di 1 dimensione);
* Diverse costruzioni del moto Browniano: Teorema di consistenza di Kolmogorov / Kolmogorov-
Cénstor;
* Proprietà del moto browniano
* Derivazione / costruzione / e nozioni di base degli integrali stocastici (Ito, Stratonovich)
* Teorema di Ito-Doeoblin: Criteri di Lévy / Teorema di Rappresentanzione Martingala
* Approccio Stratonovich / Teorema di rappresentazione di Ito (applicazioni / esempi)
* Processi di Markov e relazione (i) con il moto browniano [ulteriori proprietà del mB]
* Formula di Girsanov / Teorema di Cameron-Martin (Girsanov) e Martingala esponenziale
* Costruzione e derivazione rigorosa di equazioni differenziali stocastiche
* Soluzioni forti / Lemma di Gronwall/ Soluzioni deboli (per EDS)
* Diffusioni / Approccio via teoria dei semigruppi / Proprietà di Markov
* Formula di Dynkin / equazioni di Kolmogorov / teorema di Feynman-Kac
* Interazione tra Equazioni Differenziali (deterministiche) e EDS (tramite il teorema di Feynman-Kac)
* Applicazioni EDS in ambito finanziario
| Autore | Titolo | Casa editrice | Anno | ISBN | Note |
|---|---|---|---|---|---|
| I. Karatzas and S. Shreve | Brownian motion and stochastic calculus | ||||
| L. Rogers and D. Williams | Diffusions, Markov Processes and Martingales (Vol 2.) | ||||
| Hoel, P. G., Port, S. C. and Stone, C. J. | Introduction to Stochastic Processes | Houghton Mifflin, Boston | 1972 | ||
| S. E. Shreve | Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models | Springer, New York | 2004 | ||
| B. Øksendal | Stochastic Differential Equations | ||||
| P. Protter | Stochastic integration and differential equations |
Modalità d'esame
Esame orale con esercizi scritti:
l'esame è basato su domande a risposta aperta e/o sulla presentazione di un progetto concordato con il docente e/o sulla discussione di esercizi da svolgere per iscritto nel corso della prova. Le domande, aperte ed esercizi, mirano alla verifica delle conoscenze relative agli argomenti sviluppati nel programma del corso, nonché alla risoluzione di problemi concreti propri della Finanza Matematica, ed alla acquisita conoscenza degli associati strumenti di modellazione stocastica.
